jak w temacie
\(\displaystyle{ \left(z^{3}-27 \right) \left(z^{2}- \left( 1+4i\right)z-3+3i \right)=0}\)
z góry dzięki
rozwiązac równanie
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
rozwiązac równanie
\(\displaystyle{ z^3-27=0\;\;\vee\;\;z^2+(-1-4i)z+3i-3=0\\
1^{\circ}:\\
z^3-27=0\\
z^3=27\\
z^3=27(\cos 0+i\sin 0)\\
z_k=3\left( \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3}\right),\;\;\;k\in\{0,1,2\}}\)
Podstawiamy i otrzymujemy 3 rozwiazania. Teraz drugie rownanie:
\(\displaystyle{ z^2+(-1-4i)z+3i-3=0\\
\Delta=(1+4i)^2-4(3i-3)=
1+8i-16-12i+12=
-4i-3\\
-4i-3=(a+bi)^2\\
(a^2-b^2)+2abi=-4i-3\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-3\\
ab=-2
\end{cases}}\)
Rozwiazujac ten uklad otrzymasz liczby a,b odpowiadajace liczbe rownej pierwiastek z delty. Majac pierwiastek z delty podstawiasz do wzoru na pierwiastki rownania kwadratowego i masz wynik
Pozdrawiam.
1^{\circ}:\\
z^3-27=0\\
z^3=27\\
z^3=27(\cos 0+i\sin 0)\\
z_k=3\left( \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3}\right),\;\;\;k\in\{0,1,2\}}\)
Podstawiamy i otrzymujemy 3 rozwiazania. Teraz drugie rownanie:
\(\displaystyle{ z^2+(-1-4i)z+3i-3=0\\
\Delta=(1+4i)^2-4(3i-3)=
1+8i-16-12i+12=
-4i-3\\
-4i-3=(a+bi)^2\\
(a^2-b^2)+2abi=-4i-3\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-3\\
ab=-2
\end{cases}}\)
Rozwiazujac ten uklad otrzymasz liczby a,b odpowiadajace liczbe rownej pierwiastek z delty. Majac pierwiastek z delty podstawiasz do wzoru na pierwiastki rownania kwadratowego i masz wynik
Pozdrawiam.