Liczby zespolone - wzor de Moivre'a & pierwiastki l. zes

[michaal86+]

nie wiem nawet jak ma sie do tego zabrać nie było tego na lekcji a kazał sie tego nauczyć samemu na klasówke prosze o pomoc. krok po kroczku
1.obliczyc \(\displaystyle{ z^{18}}\) z=\(\displaystyle{ \frac{i-7}{3i+4}}\)

2.obliczyc \(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{5}}{i-3}}\)

3.obliczyc \(\displaystyle{ z^{10}}\) , gdy z= \(\displaystyle{ \frac{5+i3\sqrt{3}}{i+2\sqrt{3}}}\)

4.rozwiązac równanie \(\displaystyle{ z^{4}}\) +iz=0

5.obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) , gdy z= \(\displaystyle{ \frac{1+i}{i-3}}\)

[Tomasz Rużycki]

1., 2., 3. - wzór de Moivre'a
4. - 0 spełnia równanie, zauważ to, po czym rozważ przypadek \(\displaystyle{ z\neq 0}\) - wydziel przez nie.
5. - wzór na pierwiastki liczby zespolonej zapewne znasz.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[michaal86]

1.2.3 przykłady jak obliczyc modul z takiego ułamka ??, pozatym ułamek w 2 przykładzie jest do potegi 5, nie umiem tak obliczac modułu

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 9:41 pm ]

kompletnie nie wiem o co ci moze chodzić . da sie to jakos prościej wytłumaczyc ??

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 9:45 pm ]
chodzi mi o

4. - 0 spełnia równanie, zauważ to, po czym rozważ przypadek - wydziel przez nie.

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ z^4+iz=0}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ z=0}\) spełnia nasze równanie.

Teraz załóżmy \(\displaystyle{ z\neq 0}\).

\(\displaystyle{ z^4+iz=0}\)
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
\(\displaystyle{ z^3=-i}\).

Dalej sobie poradzisz.

Czego nie rozumiesz w pierwszych kilku moich 'podpowiedziach'?


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[liu]

Należy wykazać się umiejętnością dzielenia liczb zespolonych, to powinno ułatwić sprawę.

[michaal86]

zeby zastiosowac wzór de Moivre'a trezvba z tych 3 przykładów wyliczyc moduł a ja umiem tylko wyliczać moduły np z=3+4i nie umiem obliczyc modułu dla ułamków jak sie to robi

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 10:10 pm ]
a jescze jak byś mi mogł powiedzieć bo w drugim przyklładzie jest licznik do potegi wiec moduł jesczde trudniej wyliczyc jak to zrobić ??

[Tomasz Rużycki]

Co do tego dzielenia - wymnóż sobie ten ułamek przez sprzężenie mianownika, wszystko powinno stać się jasne.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[michaal86]

po wymnozeniu w 1 przykładzie otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{25-6i}{-25}}\) czyli moduł bedzie wynosił 6?? a podstawiajac do wzoru otzrmuje
:\(\displaystyle{ 6^{18}(cos 18*-\frac{pi}{2}+isin18*-\frac{pi}{2}}\)??

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 11:02 pm ]
1 przykład błąd w obliczeniu moduł to pierwiatek z 2 czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{18}(cos\frac{18pi}{4}+isin\frac{18pi}{4})}\)

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 11:16 pm ]
a co do drugiego przykladu to jak sie podnosi do potengi

[Fibik]

\(\displaystyle{ \frac{i-7}{3i+4} \frac{-3i+4}{-3i+4} = \frac{(i-7)(-3i+4)}{9+16} = \frac{-25+25i}{25} = -1+i}\)
Postać wykładnicza: \(\displaystyle{ \large -1+i = 2^{\frac{1}{2}}e^{i\pi(\frac{3}{4} + 2k)}}\)
gdy wykładnik jest liczbą całkowią, to można przyjąć k = 0, czyli:
\(\displaystyle{ (-1+i)^n = (2^{\frac{1}{2}}e^{i\pi\frac{3}{4}})^n = 2^{\frac{1}{2}n}e^{i\pi\frac{3}{4}n}}\)

2.
\(\displaystyle{ (1-i)^5 = (2^{1/2}e^{i\frac{7}{4}\pi})^5 = 2^{5/2}e^{i\frac{35}{4}\pi} = 2^{5/2}e^{i\frac{3}{4}\pi} = 2^{5/2}(\cos(\frac{3}{4}\pi) + i\sin(\frac{3}{4}\pi)) = 4(-1+i)}\)

czyli: \(\displaystyle{ \frac{(1-i)^5}{i -3} = 4\frac{-1+i}{i-3} = 4\frac{(-1+i)(-i-3)}{1+9}}\)

[michaal86]

1.obliczony moduł i postac albegraiczna a jak teraz podstawić to do wzoru de Moivre'a z^18??
mi wychodzi -pi/4 a tobie wyszło 3/4pi
2.a jak wyliczyłes moduł z tego (1-i)^5 ????? i jak pi wyszło Tobie 7/4

[Fibik]

Do argumentu liczby można dodać wielokrotność 2pi, czyli -pi/4 + 2pi = 7/4pi

\(\displaystyle{ e^{i\phi} = \cos(\phi) +i\sin(\phi)}\)

\(\displaystyle{ z^{18} = 2^{\frac{18}{2}}e^{i\pi\frac{3}{4}18} = 2^9e^{i\pi\frac{27}{2}} = 2^9e^{i\pi\frac{3}{2}} = -2^9i = -512i}\)

3.
\(\displaystyle{ z = \sqrt{3} + i}\)
\(\displaystyle{ z^{10} = 512(1 - i\sqrt{3})}\)

5.
\(\displaystyle{ z = \frac{1+i}{i-3} = \frac{(1+i)(-i-3)}{1+9} = \frac{-2 - 4i}{10} = 0.2(-1-2i) = \frac{\sqrt{5}}{5}e^{i(arctg(2)+(2k+1)\pi)}}\)
\(\displaystyle{ arg(z=-1-2i) = arctg(2/1) + \pi}\); trzecia ćwiartka, dlatego dodaję pi

\(\displaystyle{ \large sqrt{z} = (\frac{\sqrt{5}}{5})^{1/2}e^{i(arctg(2)+(2k+1)\pi)/2}}\), dla k = 0, 1