jak moge obliczyc takie wyrazenie?

[guardiola]

prosze o wskazowki jak mam liczyc wyrazenia tego typu:
\(\displaystyle{ (1+i)^{25}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{ \left( -1 -i \sqrt{3} \right) ^{15}}{(1 + i)^{20}}}\)

[Cod]

Należy skorzystać ze wzoru de Moivre'a:

\(\displaystyle{ z^{n}=|z|^{n}(\cos(n\cdot\arg(z))+i\sin(n\cdot\arg(z)))}\)

[guardiola]

czyli
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{25} \left( \cos 25 \cdot \frac{\pi}{4} + i \sin 25 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = z^{25}}\)

[Cod]

Myślisz dobrze, ale TeX Ci nie służy .

\(\displaystyle{ (1+i)^{25}=\sqrt{2}^{25} \left( \cos \left( \frac{25\pi}{4} \right) +i\sin \left( \frac{25\pi}{4} \right) \right)}\)

Dalej stosujesz wzory redukcyjne i upraszczasz:

\(\displaystyle{ (1+i)^{25}=\sqrt{2}^{25} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) +i\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{2}^{25}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+i\sqrt{2}^{25}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}= \sqrt{2}^{24}+i\sqrt{2}^{24}}\)

W drugim przykładzie licznik i mianownik doprowadzisz sobie do takiej ładnej postaci i wykonasz dzielenie.

[lidka95]

A dlaczego mamy właśnie \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\), a nie np. \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)?

[miodzio1988]

Policz sinus z \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) i zobacz, że się nie zgadza

[lidka95]

Widzę, że się nie zgadza. Chodzi mi o to, skąd wiemy, że pasuje \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)?

[miodzio1988]

np z wykresu tej liczby zespolonej naniesionej na płaszczyznę \(\displaystyle{ R ^{2}}\)

[lidka95]

A jak mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1- i\sqrt{3} }{1-i}\right) ^{100}}\), to stosować wzór Moivre'a oddzielnie dla licznika i mianownika?

[miodzio1988]

zgadza sie

[lidka95]

Dzięki.-- 5 paź 2014, o 14:40 --Mógłbyś to jednak rozpisać?