Kilka zadań, liczby zespolone+wielomiany

[steven]

Witam bardzo serdecznie
Jestem w wielkiej potrzebie, mianowicie potrzeba mi pomocy przy tych zadaniach, bo niestety liczby zespolone nijak mi nie mogą podejść... dlatego zwracam się z prośbą do kumatych i chętnych pomóc, by rozwiązali jakieś zadanie/nia. Z góry dziękuję za Wasze poświęcenie

1. Wyznacz i zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
\(\displaystyle{ A = \{z \in C: arg(z^{2}+1) \in (0,\pi)\}}\) Czy liczba \(\displaystyle{ (1-i)^{13}}\) należy do tego zbioru ?

2. Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ z*(2-i)^{3}=i}\)
Wyznacz z oraz (algebraicznie) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{i}{z}}}\)

3. Bez wykonywania dzielenia wyznacz resztę z dzielenia:
\(\displaystyle{ z^{666}+z^{123}-4z^{13}+3z^{4} : z^{2}+(i-1)z-i}\)

[Lorek]

1. \(\displaystyle{ \arg (z^2+1)\in (0,\pi) \iff \Im (z^2+1)>0}\), no i taka prosta nierówność. A co do sprawdzenia to postać trygonometryczna i de Moivre.

2. "Wyznacz z" - no to bez komentarza, a cz. 2
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{i}{z}}=\sqrt[3]{(2-i)^3}=\sqrt[3]{1} (2-i)}\)

3. No to prawie jak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), masz
\(\displaystyle{ W(z)=P(z)Q(z)+R(z)\\
(z^{666}+z^{123}-4z^{13}+3z^{4})=(z^2+(i-1)z-i)Q(z)+az+b}\)

Wyznaczasz pierwiastki \(\displaystyle{ P:\; z_1,z_2}\), liczysz \(\displaystyle{ W(z_1),\; W(z_2)}\) na 2 sposoby i znajdujesz a i b.