podane 2 liczby zespolone. prosze obliczyc

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marcing89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 17 lis 2007, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gda
Podziękował: 12 razy

podane 2 liczby zespolone. prosze obliczyc

Post autor: marcing89 »

\(\displaystyle{ z _{1} =-3-3i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -\sqrt{3} +i}\)
Prosze obliczyc
1)\(\displaystyle{ Re( \frac{ z_{1} }{ 2z_{2} })}\)
2)\(\displaystyle{ Im( z_{1} *z _{2} )}\)
3) \(\displaystyle{ z_{1} ^{11}}\)
Mraauuu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 21 gru 2008, o 13:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trzebnica
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 11 razy

podane 2 liczby zespolone. prosze obliczyc

Post autor: Mraauuu »

najpierw 1

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}* \frac{-3-3i}{-\sqrt{3}+ i}}\) mnoze mianownik i licznik przez sprzężenie mianownika
1/2 na razie pomine
\(\displaystyle{ \frac{-(3+3i)(-\sqrt{3}-i)}{(-\sqrt{3}+i)(-\sqrt{3}-i)}= \frac{3\sqrt{3}+ 3\sqrt{3}i+3i-3}{4}}\)

część rzeczywista(czyli Re) to tak gdzie nie ma i... czyli w tym wypadku\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}-3}{8}}\)

w koncowym wyniku uwzględniłem 1/2

drugie zrobisz analogicznie(mnożysz jak normalne liczby, tyle, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)) tyle że wskazujesz elementy z i

co do trzeciego... żeby było łatwiej przedstawię liczbę w postaci zespolonej:

liczę najpierw moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) gdzie z=x+yi

\(\displaystyle{ |z|=3\sqrt{2}}\)

czyli nasza liczba z przyjmuje postać \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}\)

teraz szukam kąta dla którego sinus i cosinus przyjmuje takie wartości(ogolnie szukamy tak, ze liczba musi sie równać wartości cosinusa, a liczba z i musi sie rownac sinusowi
ten kąt to(w przedziale (0, 2pi)) ten kąt to \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\)

korzystając ze wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ z^{11}}\)= podnosisz moduł(to co przed nawiasem) do 11 potęgi, a tę sinusy i cosinusy to tak robisz:mnożysz kąt razy 11, potem odejmujesz tyle razy, żeby kąt był z przedziału 0,2pi(odejmujesz kolejno o 2pi), potem wyliczasz sinus i cosinus i powstaje ci liczba postaci x +yi
ODPOWIEDZ