trzy równania

[Ka$a]

Trzy równania z którymi nie za bardzo sobie radze. Będę wdzięczny za wszelką pomoc:


1) \(\displaystyle{ z^{3}+3z-2i=0}\)

2) \(\displaystyle{ z ^{4}=( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) ^{6}}\)

3) \(\displaystyle{ (z-1)^{6}=(i-z)^{6}}\)

[sir_matin]

1)

\(\displaystyle{ (a+bi)^{3}+3(a+bi)-2i=0 \\
a^{3}-3ab^{2}+3a+i(3a^{2}b-b^{3}+3b-2)=0 \\
\begin{cases}a^{3}-3ab^{2}+3a=0 \\ 3a^{2}b-b^{3}+3b-2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a(a^{2}-3b^{2}+3)=0 \\ 3a^{2}b-b^{3}+3b-2=0 \end{cases} \\
\begin{cases}a=0 \\ 3a^{2}b-b^{3}+3b-2=0 \end{cases} \vee \begin{cases}a^{2}-3b^{2}+3=0 \\ 3a^{2}b-b^{3}+3b-2=0 \end{cases} \\
\begin{cases}a=0 \\ -b^{3}+3b-2=0 \end{cases} \vee \begin{cases}a^{2}=3b^{2}-3 \\ 9b(b^{2}-1)-b(b^{2}-1)+2(b-1)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a=- \frac{3 \sqrt{5} }{4} \vee a= \frac{3 \sqrt{5} }{4}\\ b=- \frac{1}{4} \end{cases}\\
\\
z_{1}=i \\
z_{2}=- \frac{3 \sqrt{5} }{4}- \frac{1}{4}i \\
z_{3}= \frac{3 \sqrt{5} }{4}- \frac{1}{4}i}\)

-- 24 stycznia 2009, 12:16 --

w 3) spróbowałbym tak:

\(\displaystyle{ (z-1)^{6}=(i-z)^{6}\\
(a+bi-1)^{6}=(i-(a+bi))^{6}\\
(a-1+bi)^{6}=(-a+(1-b)i)^{6}\\
\begin {cases}a-1=-a \\b=1-b \end {cases} \Rightarrow \begin {cases}a= \frac{1}{2} \\b=\frac{1}{2} \end {cases}\\
z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i}\)