Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych

[adixon]

\(\displaystyle{ Re \left( \frac{1-z}{1+z} \right) = 1}\)

[scyth]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z} = \frac{1-x-iy}{1+x+iy} = \frac{(1-x-iy)(1+x-iy)}{(1+x+iy)(1+x-iy)}
= \frac{1-x^2-y^2-2iy}{1+2x+x^2+y^2} \\
\Rightarrow Re \left( \frac{1-z}{1+z} \right) = \frac{1-x^2-y^2}{1+2x+x^2+y^2} \\
\Rightarrow 1-x^2-y^2=1+2x+x^2+y^2 \\
x^2+x+y^2=0}\)
[edit]
dalej pociągnął Crizz

[Crizz]

Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z}= \frac{1-x-yi}{1+x+yi} = \frac{(1-yi-x)(1-yi+x)}{(1+x+yi)(1+x-yi)}= \frac{(1-yi)^{2}-x^{2}}{(1+x)^{2}+y^{2}}= \frac{-(x^{2}+y^{2})-1-2yi}{(1+x)^{2}+y^{2}}}\)

\(\displaystyle{ Re\left(\frac{1-z}{1+z}\right)=1 \Leftrightarrow -\frac{x^{2}+y^{2}-1}{(x+1)^{2}+y^{2}}=1 \Leftrightarrow x^2+x+y^{2}=0 \Leftrightarrow \\ (x+0,5)^{2}+y^{2}=0,25}\)
(rozwiązaniem jest okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-0,5;0)}\) i promieniu 0,5)

[adixon]

ok wielkie dzięki
ja się pogubiłem w środku i nie wiedziałem co dalej z tym zrobić..