Pierwiastek z liczby zespolonej

[kamelion]

Witam, w zbiorze Krysickiego i Włodarskiego pojawiają się zadania jak w temacie, z tym że po sprowadzeniu "z" do postaci trygonometrycznej, nie da się określić jasno kąta "fi", tzn. cos i sin wychodzą np. odpowiednio 0,6 i 0,8. Teoretycznie można z tablic coś przyjąć, ale wtedy nie wyjdzie 'ładnie' a ładnie ma wyjść... Przykładowo z tym zadaniem mam problem:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)
a wynik:
\(\displaystyle{ \pm (1-2i)}\)
Będę wdzięczny za cenne spostrzeżenia...

[Mraauuu]

ustalam sobie że to co napisałeś równa się jakiejś liczbie z, czyli niech z=a+bi, gdzie a i b należą do rzeczywistych

teraz podnoszę obie strony do kwadratu i otrzymuje

\(\displaystyle{ -3-4i= (a+bi)^{2}}\)

\(\displaystyle{ czyli -3-4i=a^{2}-b^{2} +2bi}\)

aby liczby zespolone były równe muszą się równać ich części zespolony i rzeczywiste

czyli

\(\displaystyle{ -3= a^{2}+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ -4=2ab wyznaczam powiedzmy a= \frac{-2}{b}}\)

i podstawiam do pierwszego \(\displaystyle{ -3= 4/b^{2}+b^{2}}\)

po pomożeniu przez \(\displaystyle{ b^{2}}\) i podstawieniu \(\displaystyle{ w=b^{2}}\)

otrzymuję \(\displaystyle{ w^{2} -3w-4=0}\)
pierwiastki tego równanie to w1=-1, w2=4, pierwszy odpada bo przeszliśmy na liczby rzeczywiste(podczas porównywania części rzecz. i urojonych)

więc
\(\displaystyle{ b^{2}=4}\)

\(\displaystyle{ b1=2, b2=-2

a1=-1, a2=1}\)

wsio

[kamelion]

Danke, wystarczyłaby metoda, bo w Twoich obliczeniach się pogubiłem, ale sam sposób fajny i wychodzi...;]

[kamelion]

A gdyby odwrócić sytuację i próbować podnosić do potęgi którejś tam liczbę zespoloną, z tym że podobnie jak w moim pierwszym przykładzie nie dałoby się jej zamienić na wersję trygonometryczną? Mam nadzieję, że takich zadań nie ma, albo się ich nie rozwiązuje na kartce papieru...;]

[Mraauuu]

podnosisz normalnie do potęgi...

Wiesz podnoszenie do potęgi nie jest aż takie skomplikowane<szczególnie jak się korzysta z trójkąta Pascala czy czegoś podobnego>

Z tego co pamiętam potęguje się np. jak masz wyznaczyć cos4x w zależnosci od innych cosinusów i sinusów. A tak to raczej do 3,4 potęgi są zadanka najwyżej(głównie)

[kamelion]

Chyba faktycznie podnoszenie do potęgi z trójkąta nie będzie niemądre w takich przypadkach:) Dzięki

[ogien123]

Oczywiscie wynik wyszedl dobry , ale nie rozumiem jak "posegregować" te dodatnie i ujemne wyniki ...
Będę bardzo wdzięczny za wyjaśnienie.

\(\displaystyle{ b^{2}=4}\)

\(\displaystyle{ b_1=2, b_2=-2\\
a_1=-1, a_2=1}\)

[miodzio1988]

No rozwiązaniem tego rownania są dwie liczby. Te dwie liczby pozniej wstawiasz do ukladu rownan ( wczesniejszego) otrzymując dwie pary rozwiazan

[ogien123]

Teoretycznie tak , lecz nie potrafię tego zrozumieć .
Po rozwiązaniu równiania kwadratowego , delta i 2 pierwiastki gdzie wychodzi jeden pierwiastek ujemny którego odrzucamy . Pierwiastek dodatni wstawiamy do początkowego równiania i wychodzą mi tylko dodatnie współczynniki a i b.
Jeśli można proszę o pokazanie końcowej fazy tego przykładu ( obliczenia ) oraz pare słów komentarza .
Z góry dziękuje . Pozdrawiam

[miodzio1988]

Pierwiastek dodatni wstawiamy do początkowego równiania i wychodzą mi tylko dodatnie współczynniki a i b.

Nie. Ktore to niby poczatkowe rownanie jest?

[ogien123]

\(\displaystyle{ -3= a^{2}+b^{2}}\)

Tutaj podstawiam . Prosiłbym bardzo o wyjaśnienie ..

[miodzio1988]

No to wstaw co Ci wyszlo teraz. czego nie rozumiesz?

[ogien123]

No to wstaw co Ci wyszlo teraz. czego nie rozumiesz?

wyszło mi \(\displaystyle{ b=2}\) i po podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ a=1}\)
skąd tam -2 i -1 ??

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ -3= a^{2}-b^{2}}\)

tak winno byc

[ogien123]

\(\displaystyle{ -3= a^{2}-b^{2}}\)

tak winno byc

podstwiam za \(\displaystyle{ b^{2}}\) . 4 i wychodzi a=1