Witam, proszę o wytłumaczenie mi, krok po kroku, co mam zrobić z tym pierwiastkiem?
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{ \frac{- \sqrt{3}+5i }{ \sqrt{3}+2i } }}\)
z góry dziękuję za pomoc
Pierwiastek z liczb zespolonych. Jak rozwiązać?
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pierwiastek z liczb zespolonych. Jak rozwiązać?
Najpierw wykonujesz dzielenie pod pierwiastkiem - mnożysz licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
\(\displaystyle{ z=\frac{-\sqrt{3}+5i}{\sqrt{3}+2i}= \frac{-\sqrt{3}+5i}{\sqrt{3}+2i} \cdot \frac{\sqrt{3}-2i}{\sqrt{3}-2i}=\frac{(-\sqrt{3}+5i)(\sqrt{3}-2i)}{3-(2i)^{2}}=\frac{7+7\sqrt{3}i}{7}= \\ =1+\sqrt{3}i}\)
Potem przekształcasz liczbę pod pierwiastkiem do postaci \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\)
Moduł z liczby \(\displaystyle{ a+bi}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\), zatem w tym przypadku:
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^2}=2}\).
Stąd \(\displaystyle{ z=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})}\).
Korzystasz teraz z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej: pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\) wyrażają się wzorem:
\(\displaystyle{ w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),k=0,1,2,...,n-1}\)
W twoim przypadku:
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[5]{2} \left( cos\frac{\frac{\pi}{3}}{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}}{5})}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3} +4\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi }{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+6\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+6\pi }{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+8\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+8\pi }{5}\right)}\)
będą wszystkimi pierwiastkami 5-tego stopnia z liczby z (oczywiście kąty przy sinusach i cosinusach wypadałoby przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{k}}\), a ewentualnie w celu obliczenia zredukować do pierwszej ćwiartki).
\(\displaystyle{ z=\frac{-\sqrt{3}+5i}{\sqrt{3}+2i}= \frac{-\sqrt{3}+5i}{\sqrt{3}+2i} \cdot \frac{\sqrt{3}-2i}{\sqrt{3}-2i}=\frac{(-\sqrt{3}+5i)(\sqrt{3}-2i)}{3-(2i)^{2}}=\frac{7+7\sqrt{3}i}{7}= \\ =1+\sqrt{3}i}\)
Potem przekształcasz liczbę pod pierwiastkiem do postaci \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\)
Moduł z liczby \(\displaystyle{ a+bi}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\), zatem w tym przypadku:
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^2}=2}\).
Stąd \(\displaystyle{ z=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})}\).
Korzystasz teraz z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej: pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\) wyrażają się wzorem:
\(\displaystyle{ w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),k=0,1,2,...,n-1}\)
W twoim przypadku:
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[5]{2} \left( cos\frac{\frac{\pi}{3}}{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}}{5})}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3} +4\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi }{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+6\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+6\pi }{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=\sqrt[5]{2}\left( cos\frac{\frac{\pi}{3}+8\pi }{5} +isin\frac{\frac{\pi}{3}+8\pi }{5}\right)}\)
będą wszystkimi pierwiastkami 5-tego stopnia z liczby z (oczywiście kąty przy sinusach i cosinusach wypadałoby przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{k}}\), a ewentualnie w celu obliczenia zredukować do pierwszej ćwiartki).
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 9 lis 2014, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szydłowiec
- Podziękował: 1 raz
Pierwiastek z liczb zespolonych. Jak rozwiązać?
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{(\sqrt{3}-i)}{(i-1)}}}\) - a takie coś? nie mogę wykonać dzielenia pod pierwiastkiem. Wychodzi nieprzyjemna liczba, dla której nie da się wyliczyć kąta. Czy można oddzielnie obliczyć licznik i mianownik? jeżeli tak to co wtedy będzie wynikiem? Rozwiązania licznika i mianownika?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Pierwiastek z liczb zespolonych. Jak rozwiązać?
Zapisz licznik i mianownik w postaci wykładniczej.
Zastosuj zależność argumentu i modułów liczb przy dzieleniu przez siebie.
Dostaniesz liczbę w postaci \(\displaystyle{ a\cdot e^{iu}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to moduł wyrażenia pod pierwiastkiem, \(\displaystyle{ u}\) to argument. Reszta jest taka sama, jak powyżej.
Zastosuj zależność argumentu i modułów liczb przy dzieleniu przez siebie.
Dostaniesz liczbę w postaci \(\displaystyle{ a\cdot e^{iu}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to moduł wyrażenia pod pierwiastkiem, \(\displaystyle{ u}\) to argument. Reszta jest taka sama, jak powyżej.