zadanie ze wzoru de Moivre'a

Konqer · Post autor: **Konqer** » 9 sty 2009, o 19:50

Korzystając ze wzoru de Moivre'a wyrazić

\(\displaystyle{ \sin{3x}}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \sin{x}}\).

Zupełnie tego nie rozumiem czy ktoś umie to rozwiązać? To jest cała seria zadań potrzebuję przynajmniej jednego pełnego rozwiązania żeby wiedzieć jak się brać za następne.

Przypomnę że wzór de Movre'a wygląda tak:

\(\displaystyle{ Z^{n}=r^{n}(\cos{n\varphi} + i\sin{n\varphi})}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 9 sty 2009, o 19:58

\(\displaystyle{ (\cos \varphi + i \sin \varphi)^3 = \cos 3 \varphi + i \sin 3 \varphi}\)

Rozpisując lewą stronę a następnie przyrównując części urojone lewej i prawej strony otrzymamy

\(\displaystyle{ 3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi = \sin 3 \varphi}\)

następnie zamień kosinus po lewej na sinus i gotowe.

Konqer · Post autor: **Konqer** » 9 sty 2009, o 22:37

ale skąd się wzięło to równanie i dlaczego po lewej stronie nie bierzemy pod uwagę modułu (r)?

btw: gdyby jeszcze ktoś rzucił okiem na te liczby:
https://matematyka.pl/100638.htm

luka52 · Post autor: **luka52** » 9 sty 2009, o 22:55

To jest zapisana dowolna liczba zespolona \(\displaystyle{ z^3}\) na dwa różne sposoby. Zauważ, że \(\displaystyle{ r^3}\) i tak się uprości po obu stronach równania, więc nie ma potrzeby tego pisać.