Rozwiązać 2 równania

[M Ciesielski]

W związku z moim chwilowym zaćmieniem umysłowym (brakiem pomysłu...) prosze o pomoc:

\(\displaystyle{ \overline{z} = z^2 \\ \frac{1}{z} + \overline{z} = 2}\)

:F

[Wasilewski]

Chyba najlepsza będzie postać wykładnicza. Wtedy równania można przekształcić do takiej postaci:
1)
\(\displaystyle{ |z| e^{3i\varphi} = 1}\)
2)
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{|z|} + |z|) e^{-i\varphi} = 2}\)

[M Ciesielski]

właśnie w tym problem, że postaci wykładniczej na zajęciach nie miałem. jakis inny sposób?

[Wasilewski]

No to może po prostu podstawić:
\(\displaystyle{ z = x+iy \quad \overline{z} = x-iy}\)
Pierwsze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ x-iy = x^2 -y^2 + 2ixy}\)
To daje nam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = x^2 - y^2 \\ y = -2xy \end{cases}}\)
Z drugiego równanie albo y=0, albo 1 = -2x, zatem nie powinno być problemów. Natomiast drugie równanie (już po przekształceniach):
\(\displaystyle{ (\frac{1}{x^2 + y^2} + 1) x - iy( \frac{1}{x^2 + y^2} + 1) =2}\)
Musi być y=0 (bo ten nawias jest dodatni), zatem łatwo wyliczyć wartość x.

[M Ciesielski]

okey, dzięki wielkie, poradzę sobie