Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: guserd » 12 maja 2021, o 21:33

Niech \( a, b , c \in \mathbb{R} \) i \( a \neq 0 \). Niech \( z_{0} \) będzie rozwiązaniem równania kwadratowego:
\( az^{2} + bz + c = 0 \)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\) jest także rozwiązaniem tego równania.

Próbowałem jakoś to rozwiązać, zrobić coś z delty, podzieliłem też przez \(a\), chciałem też znaleźć drugi pierwiastek tego równania dzieląc je przez \( (z - z_{0}) \), ale nic z tego nie wyszło.

Za pomoc z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 12 maja 2021, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: Premislav » 12 maja 2021, o 22:14

Udowodnij dwa proste fakty:
dla liczb zespolonych \(\displaystyle{ z,w}\) jest \(\displaystyle{ \overline{zw}=\overline{z} \cdot \overline{w}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}}\). Uzbroiwszy się w tę wiedzę, otrzymujesz (przy założeniu, że \(\displaystyle{ az^2+bz+c=0}\)):
\(\displaystyle{ a\left(\overline{z}\right)^2+b\overline{z}+c=a\overline{z^{2}}+b\overline{z}+c\\=\overline{az^{2}}+\overline{bz}+\overline{c}=\overline{az^2+bz+c}\\=\overline{0}=0}\).
Korzystamy jeszcze z oczywistego spostrzeżenia, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\) jest \(\displaystyle{ \overline{x}=x}\).

Co więcej, łatwo widać, jak z tego skorzystać do udowodnienia ogólniejszej tezy:
jeśli wielomian \(\displaystyle{ P(z)}\) ma wszystkie współczynniki rzeczywiste, to gdy \(\displaystyle{ P(z_{0})=0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ z_{0}\in \CC}\), mamy także \(\displaystyle{ P\left(\overline{z_{0}}\right)=0}\).

guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: guserd » 13 maja 2021, o 10:23

Nie do końca rozumiem, dlaczego po prostu za \(z\) podkładamy \( \bar{z} \) ? bo to, że \( \bar{a} = a, \bar{b} = b, \bar{c} = c \) jest dla mnie jasne, bo to liczby rzeczywiste, tak jak później napisałeś. Ale nie do końca roumiem z czego wynikają te podstawienia pod \( z \)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: Premislav » 13 maja 2021, o 10:41

Już tłumaczę. Chcemy wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ z_{0}\in \CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ az^2+bz+c, \ a\in \RR\setminus\left\{0\right\}, b,c\in \RR}\), to \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\) też nim jest. To, że \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, znaczy dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ a(\overline{z_{0}})^2+b\overline z_{0}+c=0}\) i to chcemy wykazać. No i w tym celu korzystamy z tych własności liczb zespolonych, o których pisałem, i z tego, że \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest pierwiastkiem.

Może narobiłem trochę zamieszania, bo z lenistwa nie pisałem \(\displaystyle{ z_{0}}\) i \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\), tylko \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ \overline{z}}\), przepraszam (mnie się często nie chce pisać indeksów itd.). To mogło spowodować, że wyglądało, jakbym raz miał na myśli \(\displaystyle{ z}\) jako oznaczenie zmiennej zespolonej, której funkcją jest \(\displaystyle{ az^2+bz+c}\), a w innym miejscu jako miejsce zerowe tego wielomianu.

guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: guserd » 13 maja 2021, o 16:17

Dziękuję za odpowiedź. Nie rozumiem jeszcze jednego - z czego wynika na końcu, że \( \bar{z_{0}} \) jest też pierwiastkiem wielomianu? z tego, że całe podane równanie po przekształceniach z \( \bar{z_{0}} \) jest sprzężone i równe \( \bar{0} \) ? bo wszystkie przekształcenia rozumiem i już wiem skąd się wzięły, ale nie rozumiem w jaki sposób to udowadnia naszą tezę

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: Jan Kraszewski » 13 maja 2021, o 17:23

guserd pisze:
13 maja 2021, o 16:17
z czego wynika na końcu, że \( \bar{z_{0}} \) jest też pierwiastkiem wielomianu?
Premislav pisze:
13 maja 2021, o 10:41
Chcemy wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ z_{0}\in \CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ az^2+bz+c, \ a\in \RR\setminus\left\{0\right\}, b,c\in \RR}\), to \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\) też nim jest. To, że \(\displaystyle{ \overline{z_{0}}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, znaczy dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ a(\overline{z_{0}})^2+b\overline z_{0}+c=0}\) i to chcemy wykazać.
Czego w tym nie rozumiesz?

JK

guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: guserd » 13 maja 2021, o 19:04

Nie rozumiem, dlaczego na podstawie tego możemy stwierdzić, że \( \bar{z_{0}} \) jest też pierwiastkiem tego równania. Nie rozumiem jak podstawienie i późniejsze przekształcenia świadczą o tym, że \( \bar{z_{0}} \) jest pierwiastkiem.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3311
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: Janusz Tracz » 13 maja 2021, o 19:32

To spróbuj na konkretnym przykładzie jakie pierwiastki ma równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\)? Wybierz jeden dowolny i wstaw do tego równania ale zamiast liczyć korzystaj z tego, że sprzężenie możesz wyciągać przed potęgi, sumy, iloczyny. W taki sposób
\(\displaystyle{ a\left(\overline{z}\right)^2+b\overline{z}+c=a\overline{z^{2}}+b\overline{z}+c=\overline{az^{2}}+\overline{bz}+\overline{c}=\overline{az^2+bz+c}}\)
tylko dla konkretnych \(\displaystyle{ a,b,c,z}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Dowód - rozwiązania równania kwadratowego

Post autor: Jan Kraszewski » 13 maja 2021, o 21:51

guserd pisze:
13 maja 2021, o 19:04
Nie rozumiem, dlaczego na podstawie tego możemy stwierdzić, że \( \bar{z_{0}} \) jest też pierwiastkiem tego równania.
To powiedz mi, co to znaczy, że \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ az^{2} + bz + c = 0}\).

JK

ODPOWIEDZ