Zbiory liczb zespolonych w układzie współrzędnych

[edyta111]

Proszę o rozwiązanie zadań, w których trzeba znaleźć i naszkicować w układzie współrzędnych zbiór liczb zespolonych:
a) \(\displaystyle{ \left\{ z\in \CC: \Re\left( \frac{z-i}{z-5}\right) =0\right\} }\)
b) przeciwobraz \(\displaystyle{ \left\{ z\in \CC: 0<\arg(z)< \frac{\pi}{4} \right\}}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f(z)=\frac{z+i}{z-i}}\).

[janusz47]

a)
Podstawiamy : \(\displaystyle{ z = x+i y }\)

Zapisujemy liczbę \(\displaystyle{ \Re \left[ \frac{x +i(y-1)}{(x-5) +iy }\right] = 0. }\)

Mnożymy, licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do liczby mianownika

\(\displaystyle{ \Re[ \frac{[ x +i(y-1)]\cdot [ (x-5) - iy]}{[(x-5) +iy]\cdot [(x-5) -iy]} =0.}\)

Wydzielamy część rzeczywistą liczby i porównujemy do zera

........................................................................

\(\displaystyle{ \frac{ x^2 -5x +y^2 -y }{(x-5)^2 + y^2 } = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 -5x + y^2 -y = 0 }\)

Co to za figura po uzupełnieniu do kwadratów dwumianu?

[edyta111]

Dziękuję bardzo za pomoc. Zatem rozwiązaniem będzie okrąg o środku \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right) }\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{6,5} }\)? A jak rozwiązać punkt b?

[janusz47]

Tak, jest to okrąg o środku \(\displaystyle{ O \left( \frac{5}{2}, \ \ \frac{1}{2}\right) }\) i promieniu \(\displaystyle{ R = \sqrt{6,5}.}\)

Dodano po 2 godzinach 59 minutach 46 sekundach:
Znajdujemy przeciwobraz zbioru

\(\displaystyle{ \left\{ z\in \CC: 0<\arg(z)< \frac{\pi}{4} \right\} }\)

Jeśli \(\displaystyle{ arg z \in \left ( 0, \frac{\pi}{4} \right)}\), to liczba \(\displaystyle{ z }\) ma część rzeczywistą i urojoną dodatnią.

Stąd

\(\displaystyle{ 0 = \tg (0 )< \tg(\arg(z)) = \frac{Im(z)}{Re(z)} = \frac{y}{x} < \tg \left( \frac{\pi}{4}\right) = 1}\)

\(\displaystyle{ 0 < \frac{y}{x} <1 , \ \ x>0, \ y>0 }\)

\(\displaystyle{ \left\{ z\in \CC: 0< \arg(z) < \frac{\pi}{4} \right\} = \{ (x , y) \in \CC : y < x, \ \ x> 0, \ \ y>0 \} }\)

Przeciwobraz zbioru

\(\displaystyle{ \{ x\in Re (z) >0 : \exists_{y> 0} \ \ y\in Im(z), \ \ x > y \} }\)

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z + i}{z - i} }\)

\(\displaystyle{ z = g(w) }\)

\(\displaystyle{ z := x + i y, \ \ x > 0, \ \ y >0. }\)

\(\displaystyle{ x + iy = g(w) }\)

\(\displaystyle{ x = Re[g(w)], \ \ y = Im[g(w)] }\)

\(\displaystyle{ Re[g(w)] > Im[g(w)]. }\)

[edyta111]

Czyli rozwiązaniem będzie zewnętrze koła o środku \(\displaystyle{ S=(1, 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\)?

[janusz47]

Tak.

[a4karo]

Zważywszy, że `f(-1)=-i` to chyba nie jest poprawna odpowiedź

[janusz47]

Koła otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ S = (0, 0) }\) i promieniu \(\displaystyle{ R = \sqrt{2}.}\)

Przepraszam, proszę jeszcze raz o sprawdzenie.

[a4karo]

Koła otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ S = (0, 0) }\) i promieniu \(\displaystyle{ R = \sqrt{2}.}\)

Przepraszam, proszę jeszcze raz o sprawdzenie.

Zważywszy, że `f(0)=-1` to też nie wydaje się być dobrą odpowiedzią

[janusz47]

To jest dobra odpowiedź, bo znajdujemy przeciwobraz (nie obraz ) zbioru \(\displaystyle{ -1 < 0. }\)

[a4karo]

Skoro `z=0` jest w przeciwobrazie, to znaczy, że `f(z)` ma argument spełniający te nierówności. A `-1` ma argument `\pi`. Dziwne, że trzeba Ci takie rzeczy tłumaczyć.

Jeżeli `z=x+iy` , to

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y-1)^2}+ \frac{2x}{x^2+(y-1)^2}i}\)

i stąd dostajemy warunki:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-1>0\\
2x> 0\\
\frac{2x}{x^2+y^2-1}<1}\)

[janusz47]

Rozpatrujemy funkcję \(\displaystyle{ g(w) = \frac{i(w +1)}{w -1} \ \ (1)}\)

po to, by wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną liczby \(\displaystyle{ z }\)

gdzie

\(\displaystyle{ w = \frac{z + i}{z- i} = \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)} \ \ (2) }\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ \Re(g) = 0. }\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\) rozwiązujemy nierówność

\(\displaystyle{ 0 > \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)}. }\)