Równanie kwadratowe liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Faquerty01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 paź 2020, o 11:38
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Równanie kwadratowe liczb zespolonych

Post autor: Faquerty01 » 25 paź 2020, o 12:35

Liczby \(\displaystyle{ z_1}\) oraz \(\displaystyle{ z_2}\) są zespolonymi pierwiastkami równania kwadratowego
\(\displaystyle{ z^2-2z-6i+9=0}\).
Oblicz te pierwiastki.

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.
Ostatnio zmieniony 25 paź 2020, o 12:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18790
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3179 razy

Re: Równanie kwadratowe liczb zespolonych

Post autor: a4karo » 25 paź 2020, o 14:05

A konkretnie z czym masz kłopot? Bo rozwiązać trójmian kwadratowy chyba potrafisz

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: Równanie kwadratowe liczb zespolonych

Post autor: Premislav » 25 paź 2020, o 14:28

Domyślam się, że problem może wystąpić, gdy używa się postaci trygonometrycznej, a to dlatego, że kąt, którego kosinus wynosi \(\displaystyle{ -\frac{4}{5}}\), a sinus równy jest \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\), nie wyraża się w żaden szczególnie przyjemny sposób AFAIR. Najwyżej \(\displaystyle{ \arctg \left(-\frac{3}{4}\right)+(2k+1)\pi}\).

Nie ma jednak obowiązku używania postaci trygonometrycznej: piszemy
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-8+6i}\) (gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\)), korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia po lewej, przyrównujemy części rzeczywiste i urojone, i mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^{2}-b^{2}=-8\\2ab=6\end{cases}}\),
którego rozwiązanie jest jak najbardziej do realizacji, podstawiamy np. za \(\displaystyle{ b}\) z drugiego równania do pierwszego i mamy równanie dwukwadratowe (poziom szkoły średniej).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6309
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

Re: Równanie kwadratowe liczb zespolonych

Post autor: janusz47 » 25 paź 2020, o 17:56

\(\displaystyle{ z^2 -2z -6i +9 = 0}\)

\(\displaystyle{ z^2 -2z +1 -6i +8 = 0,}\)

\(\displaystyle{ (z - 1)^2 - (-8 + 6i)= 0,}\)

\(\displaystyle{ (z-1)^2 - (\sqrt{-8+6i})^2 = 0,}\)

\(\displaystyle{ (z -1 +\sqrt{-8+6i})(z -1 -\sqrt{-8+6i}) = 0 }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 1 -\sqrt{-8+6i}, \ \ z_{2} = 1 + \sqrt{-8+6i}. }\)

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(-8)^2 +(6)^2} = \sqrt{100} = 10.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i} = \pm \left( \sqrt{\frac{10-8}{2}} + i \sqrt{ \frac{10 + 8}{2}}\right) = \pm(\sqrt{1} + i \sqrt{9}) = \pm(1 + 3i). }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 1 - 1 -3i = -3i, \ \ z_{2} = 1 +1 +3i = 2 + 3i, }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = -3i, \ \ z_{2} = 2+3i. }\)

ODPOWIEDZ