Z czego wynika zależność (arg)?

[kwdrt4000]

Dzień dobry,

Rozwiązywałem zadanie związane z liczbami zespolonymi i w jednym z rozwiązań zapisanych z ćwiczeń spotkałem zależność:

\(\displaystyle{ \arg(\overline{z} +i) = \arg(\overline{z}) - \overline{i} = \arg(\overline{z-i}) }\)

Do tej pory rozumiem, ale potem nie wiem z czego wynika:

\(\displaystyle{ \arg(\overline{z-i}) = \pi + \arg(z - i) }\)

czy zastosowanie zamiast tego
\(\displaystyle{ \arg(\overline{z-i})=-\arg(z-i) }\)

jest błędne?


Treść zadania które rozwiązywałem:

Zilustruj zbiór na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ \{z \in \CC : \pi/6 \le \arg(\overline{z}+i) \le \pi\} }\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \left \{ z \in \CC : \frac{\pi}{6} \leq \overline{z}+ i \leq \pi \right \} }\)

Jeśli

\(\displaystyle{ Arg(\overline{z} + i) \in \left[ \frac{\pi}{6} , \pi \right], }\)

to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek, muszą mieć część rzeczywistą dodatnią, zaś ich część urojona musi być dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left [\frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} \right) }\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right].}\)

Z definicji argumentu głównego liczby zespolonej

\(\displaystyle{ \tg\left (\frac{\pi}{6} \right ) \leq \tg( Arg(\overline{z} + i)) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \ \ (1) }\)

lub

\(\displaystyle{ \tg\left( Arg(\overline{z} + i)\right) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \leq 0 \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \overline{z} + i = x- iy +i = x +( 1- y)i \ \ (3) }\)

Z \(\displaystyle{ (3), \ \ (2), \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1- y}{x} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ x >0, }\)

lub

\(\displaystyle{ \frac{1 -y}{x} \leq 0, \ \ x>0, }\)

\(\displaystyle{ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1, \ \ x>0 }\)

lub

\(\displaystyle{ y \geq 1, \ \ x>0. }\)


\(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \left\{ z = x+iy \in \CC :\ \ x> 0 , \ \ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1 \right\} \cup \left\{ z = x+iy \in \CC: x >0, \ \ y\geq 1\right\}.}\)

Proszę narysować na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC }\) zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{Z}. }\)

Dodano po 1 godzinie 24 minutach 42 sekundach:
Korekta

Jest

" to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek ..."

Powinno być

" to liczby \(\displaystyle{ \overline{z} + i }\) spełniające powyższy warunek..."

Jest

"ich część urojona musi być ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)

Powinno być

"ich część urojona musi być niedodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)