Proszę o rozwiązanie tego zadania krok po kroku, gdyż jestem "zielony" z tych rzeczy, a jutro czeka mnie z tego sprawdzian.
Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)
ma trzy pierwiastki, z których dwa są dodatnie???
Równanie wielomianowe z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Równanie wielomianowe z parametrem
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)menus20 pisze:Proszę o rozwiązanie tego zadania krok po kroku, gdyż jestem "zielony" z tych rzeczy, a jutro czeka mnie z tego sprawdzian.
Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)
ma trzy pierwiastki, z których dwa są dodatnie???
Wyłączamy x przed wszystko:
\(\displaystyle{ x(x^{2} - 2(m+1)x + 2m^{2} + 3m + 1)=0}\)
I mamy już pierwszy pierwiastek: \(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
Teraz zajmujemy się tym co mamy w nawiasie, czyli zwykłą funkcją kwadratową
\(\displaystyle{ x^{2} - 2(m+1)x + 2m^{2} + 3m + 1}\)
\(\displaystyle{ \Delta= (- 2(m+1))^2 - 4(2m^{2} + 3m + 1)= ... = -4m(m+1)}\)
Ma mieć trzy pierwiastki, wiec \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
Nie jest powiedziane że mają być różne więc rozpatrzymy dwa przypadki gdy ma dwa różne dodatnie i jeden podwójny dodatni.
\(\displaystyle{ 1^o}\) "pierwiastek podwójny dodatni"
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ p>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow -4m(m+1)=0 \Leftrightarrow m=0 \vee m=-1}\)
A że ma być pierwiastek podwójny dodatni, współrzędna po \(\displaystyle{ x}\) wierzchołka musi być dodatnia.
\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{2(m+1)}{2}=m+1}\)
\(\displaystyle{ p>0 \Leftrightarrow m+1>0 \Leftrightarrow m>-1}\)
Więc tylko \(\displaystyle{ 0}\) spełnia oba warunki
\(\displaystyle{ 2^o}\) "dwa różne pierwiastki dodatnie"
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}>0 \\ x_{1}+x_{2}>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0 \Leftrightarrow -4m(m+1)>0 \Leftrightarrow m \in (-1;0)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0 \Leftrightarrow \frac{c}{a}>0 \Leftrightarrow 2m^{2} + 3m + 1>0 \Leftrightarrow m \in (- \infty;-1) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0 \Leftrightarrow \frac{-b}{a} >0 \Leftrightarrow 2(m+1)>0 \Leftrightarrow m\in (-1; +\infty)}\)
Więc częscią wspólną tych przedziałów jest \(\displaystyle{ m\in (-\frac{1}{2};0)}\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ 1^o \cup 2^o \Leftrightarrow m\in (-\frac{1}{2};0>}\)