Równanie wielomianowe z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
menus20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie powiem
Podziękował: 23 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: menus20 »

Proszę o rozwiązanie tego zadania krok po kroku, gdyż jestem "zielony" z tych rzeczy, a jutro czeka mnie z tego sprawdzian.
Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)
ma trzy pierwiastki, z których dwa są dodatnie???
Ostatnio zmieniony 4 sty 2009, o 13:48 przez menus20, łącznie zmieniany 1 raz.
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: wb »

Sprawdź, czy za drugim nawiasem nie powinno być x?
menus20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie powiem
Podziękował: 23 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: menus20 »

tak powinien być x
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: xanowron »

menus20 pisze:Proszę o rozwiązanie tego zadania krok po kroku, gdyż jestem "zielony" z tych rzeczy, a jutro czeka mnie z tego sprawdzian.
Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)
ma trzy pierwiastki, z których dwa są dodatnie???
\(\displaystyle{ x^{3} - 2(m+1)x^{2} + (2m^{2} + 3m + 1)x=0}\)

Wyłączamy x przed wszystko:
\(\displaystyle{ x(x^{2} - 2(m+1)x + 2m^{2} + 3m + 1)=0}\)
I mamy już pierwszy pierwiastek: \(\displaystyle{ x_{1}=0}\)

Teraz zajmujemy się tym co mamy w nawiasie, czyli zwykłą funkcją kwadratową

\(\displaystyle{ x^{2} - 2(m+1)x + 2m^{2} + 3m + 1}\)
\(\displaystyle{ \Delta= (- 2(m+1))^2 - 4(2m^{2} + 3m + 1)= ... = -4m(m+1)}\)

Ma mieć trzy pierwiastki, wiec \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
Nie jest powiedziane że mają być różne więc rozpatrzymy dwa przypadki gdy ma dwa różne dodatnie i jeden podwójny dodatni.

\(\displaystyle{ 1^o}\) "pierwiastek podwójny dodatni"

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ p>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow -4m(m+1)=0 \Leftrightarrow m=0 \vee m=-1}\)

A że ma być pierwiastek podwójny dodatni, współrzędna po \(\displaystyle{ x}\) wierzchołka musi być dodatnia.
\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{2(m+1)}{2}=m+1}\)
\(\displaystyle{ p>0 \Leftrightarrow m+1>0 \Leftrightarrow m>-1}\)

Więc tylko \(\displaystyle{ 0}\) spełnia oba warunki

\(\displaystyle{ 2^o}\) "dwa różne pierwiastki dodatnie"

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}>0 \\ x_{1}+x_{2}>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0 \Leftrightarrow -4m(m+1)>0 \Leftrightarrow m \in (-1;0)}\)

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0 \Leftrightarrow \frac{c}{a}>0 \Leftrightarrow 2m^{2} + 3m + 1>0 \Leftrightarrow m \in (- \infty;-1) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)}\)

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0 \Leftrightarrow \frac{-b}{a} >0 \Leftrightarrow 2(m+1)>0 \Leftrightarrow m\in (-1; +\infty)}\)

Więc częscią wspólną tych przedziałów jest \(\displaystyle{ m\in (-\frac{1}{2};0)}\)

Odpowiedź:
\(\displaystyle{ 1^o \cup 2^o \Leftrightarrow m\in (-\frac{1}{2};0>}\)
ODPOWIEDZ