zadanie maturalne

xxxxx · Post autor: **xxxxx** » 2 sty 2009, o 15:53

wykaz ze wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-6x+9}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 2 sty 2009, o 15:56

Najpierw sprawdź czy nie ma pierwiastków całkowitych, czyli będących dzielnikiem wyrazu wolnego. Potem sprawdź czy nie ma pierwiastków wymiernych postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)gdzie wyraz p jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_0}\) zaś q dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_n}\)

xxxxx · Post autor: **xxxxx** » 2 sty 2009, o 16:09

A który to jest wyraz wolny \(\displaystyle{ a_{n}}\)?

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 2 sty 2009, o 16:16

Wyraz \(\displaystyle{ a_n}\) w Twoim przypadku to \(\displaystyle{ x^4}\) czyli ten przy którym stoi x w najwyższej potędze zaś wolny to ten przy którym nie ma x, czyli 9.

xxxxx · Post autor: **xxxxx** » 2 sty 2009, o 16:20

Aha...dobra juz wiem:P dzieki

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 2 sty 2009, o 16:29

xxxxx pisze:czyli mam najpierw sprawdzić czy -9,-3,-1,1,3,9 nie są pierwiastkami? A z tym drugim to nie wiem o co ci chodzi...? Pokaz mi to na przykladzie albo jakos dokładniej wytlumacz jesli mozesz

Tak.

A z tym drugim to nie wiem o co ci chodzi...? Pokaz mi to na przykladzie albo jakos dokładniej wytlumacz jesli mozesz

Dzielniki wyrazu \(\displaystyle{ a_0}\) (wolnego) jak już zauważyłeś są:

-9,-3,-1,1,3,9

zaś wyrazu a_n :

1, -1

Pierwiastkami mogą być liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie p jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_0}\)zaś q dzielnikiem \(\displaystyle{ a_n}\) czyli są to następujące liczby:

\(\displaystyle{ \frac{-9}{1} ; \frac{-3}{1} ; \frac{-1}{1} ; \frac{1}{1} ; \frac{3}{1}; \frac{9}{1} \\ \frac{-9}{-1} ; \frac{-3}{-1} ; \frac{-1}{-1} ; \frac{1}{-1}; \frac{3}{-1} ; \frac{9}{-1}}\)

Celowo oddzieliłem rząd górny od dolnego, zauważ że potencjalne pierwiastki w qórnym rzędzie nie różnią się niczym od wyrazów całkowitych gdyż w mianowniku mają 1.

Goter · Post autor: **Goter** » 2 sty 2009, o 16:53

"nie ma pierwiastków rzeczywistych"

Ty tylko udowodniłeś, że nie ma pierwiastków wymiernych !

To zadanie jest z próbnej matury tak ? znam je na pamięć ^^

\(\displaystyle{ x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 6x + 9 = 0\\
x^4 - 2x^3 + x^2 + x^2 - 6x + 9 = 0\\
(x^2-x)^2 + (x-3)^2 = 0\\
(x=1 x=0) x=3}\)
sprzeczność
\(\displaystyle{ x \varnothing}\)

Widzimy, że ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Z tego co pamiętam CKE postanowiło, że rozwiązanie podane przez Tomka_Z nie otrzymywało żadnych punktów na tej próbnej maturze ;p