Wielomian przy dzieleniu

[matteooshec]

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ (x + 2), (x - 5)}\) daje reszty odpowiednio równe 15 oraz 8. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^{3} - 4x^{2} - 7x + 10}\), wiedząc że liczba 1 jest miejscem zerowym wielomianu W(x).

[Qń]

Wiemy, że \(\displaystyle{ W(-2) = 15, W(5) =8, W(1) =0}\). Ponieważ zaś \(\displaystyle{ x^3-4x^2-7x+10= (x-1)(x+2)(x-5)}\), to mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(x+2)(x-5) \ ktos + ax^2+bx+c}\)
Wstawiając do tej równości kolejno \(\displaystyle{ x=-2,5,1}\) dostaniemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4a-2b +c =15 \\
25a+5b+c = 8 \\
a+b+c = 0
\end{cases}}\)
po którego rozwiązaniu otrzymamy postać reszty \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\).

Q.

[matteooshec]

A skąd wiemy, że \(\displaystyle{ x^{3} - 4x^{2} - 7x + 10}\) jest równe \(\displaystyle{ (x-1)(x+2)(x-5)}\) ?

[Qń]

Bo sprawdziliśmy, że jedynka, minus dwójka i piątka są pierwiastkami tego wielomianu (gdyby było inaczej, to zadanie nie miałoby jednoznacznego rozwiązania).

Q.

[gribby]

a skąd wiemy, że reszta z dzielenia jest stopnia drugiego, a nie np. trzeciego czy pierwszego?

[piasek101]

a skąd wiemy, że reszta z dzielenia jest stopnia drugiego, a nie np. trzeciego czy pierwszego?

Wystarczy znaleźć : ,,jeśli stopień dzielnika to n reszta z dzielenia ma stopień co najwyżej n-1".

W zadaniu zatem zakładamy istnienie reszty najwyższego stopnia - jeśli wyjdzie stopnia niższego od założonego to się nie dziwimy.

[martys15]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n N_{+}}\) wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-r)jesli w(x)nx^{n+1}-(n-1)x^{n}-1}\)
r=1


jak to zrobic????

[matteooshec]

Bo sprawdziliśmy, że jedynka, minus dwójka i piątka są pierwiastkami tego wielomianu (gdyby było inaczej, to zadanie nie miałoby jednoznacznego rozwiązania).

Q.

Jakim sposobem to sprawdziliśmy?

[piasek101]

Jakim sposobem to sprawdziliśmy?

\(\displaystyle{ P(1)=P(-2)=P(5)=0}\)