Witam. Mam zadanie takie:
Rozłóż na czynniki liniowe i podaj wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) = x^3 + x^2 - 5x +3, jeśli wiesz że jednym z nich jest liczba 1.
Proszę o pomoc!
Dziwny wielomian
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Dziwny wielomian
Wystarczy tylko skorzystac z twierzenia Bezout i rozwiązac równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
Na mocy twierdzena Bezout wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1)
Po podzieleniu otrzymamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x^{2}+2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4+12=16}\)
\(\displaystyle{ x _{1,2}={-2 \mp 4 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x _{3}=1}\)
\(\displaystyle{ \left( x+3\right) \left( x-1\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
Na mocy twierdzena Bezout wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1)
Po podzieleniu otrzymamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x^{2}+2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4+12=16}\)
\(\displaystyle{ x _{1,2}={-2 \mp 4 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x _{3}=1}\)
\(\displaystyle{ \left( x+3\right) \left( x-1\right) ^{2}}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2009, o 07:12 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
Dziwny wielomian
Jest to zadanie do matury podstawowej, a tam nie jest wymagane dzielenie wielomianów. Jest inny sposób aby rozwiązać to zadanie?
-
Goter
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 85 razy
Dziwny wielomian
Oczywiście.
Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c}\)
porównując z wielomianem \(\displaystyle{ x^3+x^2-5x+3}\)
otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ a = 1\\
b-a = 1\\
c-b = -5\\
-c = 3\\}\)
Którego rozwiązaniem jest oczywiście:
\(\displaystyle{ a=1\\
b=2\\
c=-3\\}\)
i teraz podstawiamy do postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (x-1)(x^2+2x-3)}\)
i obliczamy deltę tak jak wyżej
Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c}\)
porównując z wielomianem \(\displaystyle{ x^3+x^2-5x+3}\)
otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ a = 1\\
b-a = 1\\
c-b = -5\\
-c = 3\\}\)
Którego rozwiązaniem jest oczywiście:
\(\displaystyle{ a=1\\
b=2\\
c=-3\\}\)
i teraz podstawiamy do postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (x-1)(x^2+2x-3)}\)
i obliczamy deltę tak jak wyżej
-
sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
Dziwny wielomian
zadanie to można rozwiązać jeszcze w jeden sposób, wiemy, że pierwiastkiem ma być 1, zatem wielomian poprzekształcamy w taki sposób by w nawiasach bo wyciągnieciu wspólnego czynnika przed nawias zawsze zostało (x-1)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-x^2)+(2x^2-2x)+(-3x+3)=x^2(x-1)+2x(x-1)-3(x-1)=
(x-1)(x^2+2x-3)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-x^2)+(2x^2-2x)+(-3x+3)=x^2(x-1)+2x(x-1)-3(x-1)=
(x-1)(x^2+2x-3)}\)
Dziwny wielomian
W jaki sposób otrzymałeś pierwszą część równania?sea_of_tears pisze:zadanie to można rozwiązać jeszcze w jeden sposób, wiemy, że pierwiastkiem ma być 1, zatem wielomian poprzekształcamy w taki sposób by w nawiasach bo wyciągnieciu wspólnego czynnika przed nawias zawsze zostało (x-1)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-x^2)+(2x^2-2x)+(-3x+3)=x^2(x-1)+2x(x-1)-3(x-1)=
(x-1)(x^2+2x-3)}\)
-
sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
Dziwny wielomian
wiem, że mam otrzymać w nawiasach (x-1) zatem skoro jako pierwsze w wielomianie W(x) występuje \(\displaystyle{ x^3}\) to teraz wiem, że musi być w nawiasie jako drugie liczba o znaku przeciwnym bo jest "-" przy jedynce w (x-1) i do tego patrząc na potęgę x ma być o jeden mniej bo \(\displaystyle{ (x-1)=(x^1-x^0)}\)
zatem pewne jest że w pierwszym nawiasie musiałam dopisać \(\displaystyle{ -x^2}\)
ale w naszym wielomianie W(x) było \(\displaystyle{ x^2}\) czyli drugi nawias musiałam zacząć od \(\displaystyle{ 2x^2}\) żeby mi się wszystko zgadzało bo \(\displaystyle{ -x^2+2x^2=x^2}\)
i kolejny czynnik w nawiasie znowu poprzez zmianę znaku i zmniejszenie potęgi przy x o jeden itd
w ten sposób otrzymałam wszystkie nawiasy, wyciągnęłam wspólny czynnik przed każdy nawias i mamy powtarzający się czynnik (x-1) przy każdym składniku zatem znowu wyciągnęłam to przed nawias otrzymując koncowy wynik w swoim działaniu
zatem pewne jest że w pierwszym nawiasie musiałam dopisać \(\displaystyle{ -x^2}\)
ale w naszym wielomianie W(x) było \(\displaystyle{ x^2}\) czyli drugi nawias musiałam zacząć od \(\displaystyle{ 2x^2}\) żeby mi się wszystko zgadzało bo \(\displaystyle{ -x^2+2x^2=x^2}\)
i kolejny czynnik w nawiasie znowu poprzez zmianę znaku i zmniejszenie potęgi przy x o jeden itd
w ten sposób otrzymałam wszystkie nawiasy, wyciągnęłam wspólny czynnik przed każdy nawias i mamy powtarzający się czynnik (x-1) przy każdym składniku zatem znowu wyciągnęłam to przed nawias otrzymując koncowy wynik w swoim działaniu