pierwiastki wymierne

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 29 gru 2008, o 23:12

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+x+1}\) . Uzasadnij ze ten wielomian nie ma pierwiastkow dodatnich.

oraz

Uzasadnij ze wielomian nie ma pierwiastkow wymiernych.

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 23:29

jeśli chodzi o pierwiastki wymierne to można skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
na podstawie tego tw gdyby istniał jakiś pierwiastek wymierny to byłby on równy :
\(\displaystyle{ 1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\)
wystarczy podstawić każdą z tych liczb i zobaczyć, że żadna z nich nie jest pierwiastkiem

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 23:41 ]
jeśli chodzi o pierwiastki dodatnie to zbadamy monotoniczność tej funkcji
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+x+1 \newline
W^{'}(x)=6x^2+1\newline
6x^2+1>0}\)zachodzi to dla każdego x należące do zbioru liczb rzeczywistych
zatem fukcja jest rosnąca na całym zbiorze
dodatkowo W(0)=1
czyli dla dodatnich x przyjmuje zawsze wartości większe od 1

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 29 gru 2008, o 23:29

Pierwiastkami wymiernymi wielomianu są liczby \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie p jest dzielnikiem wyrazu \(\displaystyle{ a_0}\) zaś q wyrazu \(\displaystyle{ a_n}\).

Dzielnikami wyrazu \(\displaystyle{ a_0}\) są liczby 1 i -1 zaś\(\displaystyle{ a_n}\) 1, -1, 2, -2. Zatem pierwiastkami wymiernymi wielomianu mogą być liczby \(\displaystyle{ 1, -1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Należy teraz sprawdzić czy któraś z tych liczb spełnia warunek W(x) = 0. Jeśli nie to oznacza że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

Poza tym wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych, ponieważ takimi są liczby będące dzielnikami wyrazu wolnego (czyli w tym przypadku 1 i -1), zatem wielomian tym bardziej nie posiada żadnego pierwiastka dodatniego.

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 29 gru 2008, o 23:47

jak moge uzasadnic, ze ten wielomian ma co najmniej 1 pierwiastek??

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 23:52

korzystając z twierdzenia, że każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego

my mamy wielomian stopnia trzeciego więc na mocy tego twierdzenia można go zapisać jako iloczyn wielomianu stopnia 2 i wielomianu stopnia 1
albo jako iloczyn trzech wielomian stopnia 1
a jak wiadomo wielomian stopnia pierwszego napewno na pierwiastek

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 29 gru 2008, o 23:57

jakos nie moge sobie dac rade, jak moge go rozłozyc?

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 23:59

tu nie chodzi o to byś znajdowała dokładnie to rozłożenie, ale na mocy tego twierdzenia wiesz, że to jest możliwe, że rozkładając wielomian otrzymasz napewno jest stopnia pierwszego(który ma napewno pierwiastek) i wtedy nasz początkowy wielomian pierwiastek napewno ma
i tyle wystarczy

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 30 gru 2008, o 00:10

wielkie dzieki:)

qba1337 · Post autor: **qba1337** » 30 gru 2008, o 01:09

Tomek_Z pisze:Pierwiastkami wymiernymi wielomianu są liczby \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie p jest dzielnikiem wyrazu \(\displaystyle{ a_0}\) zaś q wyrazu \(\displaystyle{ a_n}\).

Dzielnikami wyrazu \(\displaystyle{ a_0}\) są liczby 1 i -1 zaś\(\displaystyle{ a_n}\) 1, -1, 2, -2. Zatem pierwiastkami wymiernymi wielomianu mogą być liczby \(\displaystyle{ 1, -1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Należy teraz sprawdzić czy któraś z tych liczb spełnia warunek W(x) = 0. Jeśli nie to oznacza że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

Poza tym wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych, ponieważ takimi są liczby będące dzielnikami wyrazu wolnego (czyli w tym przypadku 1 i -1), zatem wielomian tym bardziej nie posiada żadnego pierwiastka dodatniego.

Mialem takie zadanie na próbnej maturze, zrobilem tak samo że podstawialem te liczby i jeśli żadna nie spelnia warunku W(x)= 0 to nie ma pierwiastkowch wymiernych.
Dostalem 0 punktów za takie rozwiazanie ;

Goter · Post autor: **Goter** » 30 gru 2008, o 11:51

qba1337:

A w zadaniu nie pytali o czasem o rozwiązania RZECZYWISTE ?

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 30 gru 2008, o 12:19

virusssss · Post autor: **virusssss** » 15 sty 2009, o 18:35

sea_of_tears pisze: jeśli chodzi o pierwiastki dodatnie to zbadamy monotoniczność tej funkcji
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+x+1 \newline
W^{'}(x)=6x^2+1\newline
6x^2+1>0}\)zachodzi to dla każdego x należące do zbioru liczb rzeczywistych
zatem fukcja jest rosnąca na całym zbiorze
dodatkowo W(0)=1
czyli dla dodatnich x przyjmuje zawsze wartości większe od 1

też próbuję to rozwiązać, możesz wytłumaczyć co to jest \(\displaystyle{ W^{'}(x)=6x^2+1}\)?
szczerze mówiąc nie wiem, jak się wogóle bada monotoniczność wielomianów. czy nie tak jak np kwadratowej: w(x) a potem w(x+1) i sprawdzamy itd.?

monpor7 · Post autor: **monpor7** » 15 sty 2009, o 18:42

to jest pochodna...w szkole tego nie bierzecie juz

virusssss · Post autor: **virusssss** » 15 sty 2009, o 18:55

a no właśnie, w takim razie możecie mi pomóc z tym podpunktem a) wykorzystując jakąś inną metodę?

virusssss · Post autor: **virusssss** » 18 sty 2009, o 14:51

próba próba próba odświeżenia prośby:)