kilka zadań z funcji wielomianowej(matura rozszerz)

adamos64 · Post autor: **adamos64** » 26 gru 2008, o 14:48

1. Suma wszystkich pierwiastków wielomianu W(x)\(\displaystyle{ =x^3+ax^2+x+c}\) jest równa 6. Znajdź współczynniki a i c wiedząc, że W(x) jest podzielny przed wielomian V(x)=x.
2. Znajdź wszystkie liczby niewymierne a takie, że reszta z dzielenia wielomianu W(x)\(\displaystyle{ =x^3-4x^2+x+4}\) przez dwumian x+a jest równa a.
3. Dany jest wielomian W(x)\(\displaystyle{ =2x^3+x+1}\):
a) Uzasadnij, że wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Uzasadnij, że wielomian W(x) nie ma pierwiastków wymiernych.
c) Twierdzenie. " Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego". Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek.

wb · Post autor: wb » 26 gru 2008, o 15:04

1.
\(\displaystyle{ V(x)=x=x-0 W(0)=0 c=0 \\ \\ W(x)=x^3+ax^2+x=x(x^2+ax+1)}\)

Suma pierwiastków równa 6:
\(\displaystyle{ 0+ \frac{-a}{1}=6 a=-6}\)

[ Dodano: 26 Grudnia 2008, 15:10 ]
2.
\(\displaystyle{ W(-a)=a \\ (-a)^3-4(-a)^2+(-a)+4=a \\ -a^3-4a^2-2a+4=0 \\ a^3+4a^2+2a-4=0 \\ (a+2)(a^2+2a-2)=0 \\ a=-2 a= \frac{-2-2\sqrt3}{2}\vee a= \frac{-2+2\sqrt3}{2} \\ a=-1-\sqrt3 a=-1+\sqrt3}\)

adamos64 · Post autor: **adamos64** » 26 gru 2008, o 15:12

w ksiazce kiełbasy jest inny wynik .... wiec źle rozwiązane jest tutaj pierwsze
a mam pytanie co do zadania drugiego jak wpadłeś na to że powinna być taka postać: \(\displaystyle{ (a+2)(a^2+2a-2)}\) bo nigdy nie umime do tego przejść

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 gru 2008, o 15:54

wb pisze:1.
\(\displaystyle{ 1+a+1+0=6 \Rightarrow a=4}\)

To nie suma pierwiastków.
\(\displaystyle{ W(x)=x(x^2+ax+1)}\) i z Viete'a.

adamos64 pisze: a mam pytanie co do zadania drugiego jak wpadłeś na to że powinna być taka postać: \(\displaystyle{ (a+2)(a^2+2a-2)}\) bo nigdy nie umime do tego przejść

Zgadujesz pierwiastek (np. t) wyjściowego (tu szukasz wśród dzielników wyrazu wolnego), potem dzielisz dany wielomian przez dwumian (x-t) i masz nową postać danego \(\displaystyle{ (x-t)\cdot(wynik dzielenia)}\)

adamos64 · Post autor: **adamos64** » 26 gru 2008, o 16:57

a umie ktos trzecie zadanie wykonac? przede wszystkim pdkt b i c

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 gru 2008, o 20:10

adamos64 pisze:a umie ktos trzecie zadanie wykonac? przede wszystkim pdkt b i c

c) masz powołać się na twierdzenie; czyli ten wielomian (skoro jest stopnia 3) można zapisać jako :

- iloczyn trzech pierwszego stopnia
- iloczyn wielomianów pierwszego i drugiego stopnia (tak mamy w tym zadaniu - ale to nie jest istotne).

b) z twierdzenia o wymiernym pierwiastku.