Wielomiany / Zadania Maturalne.

[chomicek]

Witam mam problem z zadaniami z podręcznika "Matura Próbne arkusze maturalne 2008/2009 OE".

Oto treści zadań :

1. Dane są wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=2 x^{2}-3x+4 , H(x)=ax+b , F(x)= -2 x^{3}+13 x^{2}-19x+20.}\) Oblicz a i b ,

dla których wielomiany \(\displaystyle{ W(x) H(x) i F(x)}\) są równe.

2. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=4 x^{4}- x^{2}-6x-9.}\) Rozłóż wielomian W(x) na

czynniki możliwie najniższego stopnia, stosując grupowanie wyrazów i wzory skróconego mnożenia.

3. Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia W(x) są liczby a,b,c,d, które w podanej

kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Suma pierwiastków wielomianu jest równa 8.

a) Oblicz pierwiastki a,b,c,d wielomianu W(x).

b) Wiedząc, że dla argumentu 0 wielomian przyjmuje wartość (-15), przedstaw wielomian w

postaci \(\displaystyle{ W(x)= a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{0}.}\)


Czekam na wskazówki i rozwiązania

Wielkie dzięki, Pzdr.

[matshadow]

2)
\(\displaystyle{ 4x^4-(x+3)^2=(2x^2)^2-(x+3)^2=(2x^2-x-3)(2x^2+x+3)}\)
Dalej się nie da (\(\displaystyle{ \Delta}\)

[Lukasz_C747]

1)
\(\displaystyle{ W(x)\cdot H(x) = (2x^2-3x+4)(ax+b) = 2ax^3+2bx^2-3ax^2-3bx+4ax+4b = 2ax^3+(2b-3a)x^2+(4a-3b)x+4b\\
F(x) = -2x^3+13x^2-19x+20\\
\begin{cases} 2a=-2\\2b-3a=13\\4a-3b=-19\\4b=20\end{cases} \begin{cases} a=-1\\b=5\end{cases}}\)

3)
\(\displaystyle{ a) \begin{cases} a+b+c+d=8\\b=a-2\\c=b-2\\d=c-2\end{cases} \begin{cases} 4a-12=8\\b=a-2\\c=a-4\\d=a-6\end{cases} \begin{cases} a=5\\b=3\\c=1\\d=-1\end{cases}\\
b) \ W(x) = C(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = C(x^2-(a+b)x+ab)(x^2-(c+d)x+cd) = C(x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2-(acd+bcd+abc+abd)x+abcd)\\
W(0)=-15=a_0=Cabcd C=1}\)

[Ryszkowski]

2)
\(\displaystyle{ 4x^4-(x+3)^2=(2x^2)^2-(x+3)^2=(2x^2-x-3)(2x^2+x+3)}\)
Dalej się nie da (\(\displaystyle{ \Delta0}\) i x1=-1 zaś x2=1,5

[frej]

Oczywiście, że się da. Żeby to stwierdzić nie trzeba liczyć nawet delty, bo iloczyn współczynnika przy \(\displaystyle{ x^2}\) i wyrazu wolnego jest ujemny.
Ryszkowski, dobrze obliczyłeś.
\(\displaystyle{ 4x^4-(x+3)^2=2(x+1)(x-\frac{3}{2})(2x^2+x+3)}\)

[Pabulon]

Mógłby jeszcze raz ktoś obliczyć zadanko 3b. ?
Wynik powinien być \(\displaystyle{ W_{(x)} = x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 15}\)

[Pabulon]

Ponawiam prośbę o 3b.
Help :/