Ogólne zadania dot. wielomianów

[Mała_Czarna]

Mam na zadanie domowe kilka zadanek z którymi sobie nie moge poradzić.
1.Udowodnij, że dla każdej wartości całkowitej parametru \(\displaystyle{ m}\) kazdy pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^2+mx+m-1}\) jest całkowity.
i mam tak:
\(\displaystyle{ x^2+mx+m-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= 0}\)
\(\displaystyle{ m=2}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)
2. Wykaż że jeżeli współczynnik trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) to trójmian posiada co najmniej jedno miejsce zerowe.
\(\displaystyle{ \Delta qslant 0}\)
\(\displaystyle{ b^2-4ac qslant 0}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=0}\)
\(\displaystyle{ (-c-a)^2-4ac qslant 0}\)
\(\displaystyle{ c^2+a^2 qslant 2ac}\)

3.udowodnij ,ze równanie \(\displaystyle{ W(x)=x+m}\) gdzie \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem stopnia trzeciego, ma dla każdej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) co najmniej jedno rozwiązanie.

tego to całkowicie nie wiem jak zrobić

4.wyka że wielomian \(\displaystyle{ w(x)= (2x^2-1)^{2n} +(x^4+x^2-1)^{2n}-2}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x^3-x}\) sla dodatnich całkowitych \(\displaystyle{ n}\)

w tym policzyłam \(\displaystyle{ w(1) i w(-1)}\) i nie wiem co dalej

5.wykaż że jeżeli można skrócić wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{8x^3-12mx^2+6m^2x-m^3}{x-m}}\) to dla \(\displaystyle{ x 0}\) jest ono równe \(\displaystyle{ 8x^2}\)

tego tez nie wiem

wiec prosze o pomoc

,,III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp.'
luka52

[sea_of_tears]

zadanie 1
\(\displaystyle{ x^2+mx+m-1=0 \newline
x^2+x+mx-x+m-1=0\newline
x^2+x+x(m-1)+(m-1)=0\newline
x(x+1)+(m-1)(x+1)=0\newline
(x+1)(x+m-1)=0
\newline
x+1=0\newline
x=-1\newline
\newline
x+m-1=0 \newline
x=1-m}\)
m całkowite zatem 1-m też jest całkowite

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 23:20 ]
zadanie 2
\(\displaystyle{ a+b+c=0\newline
c=-a-b\newline
\newline
y=ax^2+bx+c\newline
\Delta=b^2-4ac\newline
\Delta=b^2-4a(-a-b)=
b^2+4a^2+4ab=b^2+4ab+4a^2=(b+2a)^2\newline
(b+2a)^2 qslant 0 \Delta qslant 0}\)
zatem mamy conajmniej jedno miejsce zerowe

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 23:27 ]
zadanie 4
\(\displaystyle{ W(x)=(2x^2-1)^{2n}+(x^4+x^2-1)^{2n}-2\newline
\newline
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\newline
W(0)=0\newline
W(1)=0\newline
W(-1)=0}\)
ale korzystając z dzielenia nasz wielomian W(x) można zapisać jeszcze na drugi sposób :
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-x)\cdot Q(x) + R(x)\newline
R(x)=ax^2+bx+c\newline
W(0)=c\newline
W(1)=a+b+c\newline
W(-1)=a-b+c\newline
\newline
\begin{cases}
c=0 \\
a+b+c=0 \\
a-b+c=0
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
c=0 \\
a+b =0\\
a-b=0
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
a=0\\
b=0\\
c=0
\end{cases}
\newline
R(x)=ax^2+bx+c=0\newline
R(x)=0}\)
a skoro reszta z dzielenia jest równa 0 zatem jest on podzielny

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 23:32 ]
zadanie 5
żeby można było skrócić licznik z mianownikiem licznik musi być podzielny przez x-m
\(\displaystyle{ W(x)=8x^3 - 12mx^2 +6m^2x-m^3\newline
W(m)=8m^3-12m\cdot m^2+6m^2\cdotm-m^3=
8m^3-12m^3+6m^3-m^3=m^3}\)
a żeby był podzielny to musi być to równe zero
\(\displaystyle{ m^3=0\newline
m=0}\)
podstawiając pod m zero otrzymujemy ułamek właśnie \(\displaystyle{ \frac{8x^3}{x}=8x^2}\)