wielomian liczba"k"

[number23wp]

Wyznacz taka liczbe "k", aby wielomian w(x)=x^3+(2-k)x+2 był podzielny przez dwumian x+k. Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu. Dziekuje z gory za pomoc;)

[Poodzian]

Należy skorzystać z twierdzenia Bézout
Wiadomo zatem, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\)

Zatem pierwiastkiem wielomianu musi być liczba \(\displaystyle{ -k}\)
\(\displaystyle{ 0=x^3+(2-k)x+2}\) - za każde \(\displaystyle{ x}\) należy podstawić \(\displaystyle{ -k}\)
\(\displaystyle{ 0=(-k)^3+(2-k)(-k)+2}\)
\(\displaystyle{ 0=-k^3+k^2-2k+2}\), teraz wspólne czynniki przed nawias

\(\displaystyle{ 0=-k^2(k-1)-2(k-1)}\)
\(\displaystyle{ 0=-(k^2+2)(k-1)}\), a tu już widać, że \(\displaystyle{ k=1}\)

Teraz już tylko należy wyznaczyć pierwiastki \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+2}\)