reszta z dzielenia wielomianu

[milymumin]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P ft(x\right)= x^{3} + 2x^{2} - x - 2}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x) = x^{2} + x +1}\) . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez wielomian \(\displaystyle{ V(x) = x^{2} -1}\) .

[RyHoO16]

Zapiszmy nasz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=P(x) Q(x)+R(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wielomianem stałym.

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)(x+2) Q(x) + x^2+x+1}\)

Zauważ następnie, że reszta jaką otrzymamy z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ V(x)}\)
maksymalne może przybrać postać \(\displaystyle{ R_{2}(x)=ax+b}\)

Następnie z pierwszego równania obliczmy wartość reszty dla x=1 i x=-1

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=1\\ W(1)=3 \end{cases}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=1 \\ a+b=3 \end{cases} \iff \begin{cases} a=1 \\ b=2 \end{cases}}\)

Odp: \(\displaystyle{ \underline{R(x)=x+2}}\)