Matematyka.pl

Wykaż, ze jeżeli liczby \(\displaystyle{ -2,-3,-4,-5}\), są miejscami zerowymi wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych to dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) liczba \(\displaystyle{ W(k)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\).

Wielomian W można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) Q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) ma współczynniki całkowite

Dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych \(\displaystyle{ W(k)}\) jest iloczynem pewnej liczby całkowitej i czterech kolejnych liczb całkowitych, stąd \(\displaystyle{ W(k)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) i przez \(\displaystyle{ 8}\)(Jedna z liczb jest podzielna przez 4, a inna przez 2). Jest więc też podzielne przez \(\displaystyle{ 24}\).

za bardzo tego nie rozumie

Dla każdego k (całkowitego) ten wielomian można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ (k+2)(k+3)(k+4)(k+5) a}\), a jest pewną liczbą całkowitą.

Zauważ, że \(\displaystyle{ k+2}\), \(\displaystyle{ k+3}\) oraz \(\displaystyle{ k+4}\) są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

A teraz podzielność przez \(\displaystyle{ 8}\):
\(\displaystyle{ k+2}\), \(\displaystyle{ k+3}\), \(\displaystyle{ k+4}\), \(\displaystyle{ k+5}\) są czterema kolejnymi liczbami całkowitymi, więc dwie spośród nich są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). Są to \(\displaystyle{ k+2}\) i \(\displaystyle{ k+4}\) albo \(\displaystyle{ k+3}\) i \(\displaystyle{ k+5}\). Jeżeli masz dwie kolejne liczby parzyste, to jedna z nich musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Stąd jedna z tych liczb parzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), a druga przez \(\displaystyle{ 2}\). Ich iloczyn jest więc podzielny przez \(\displaystyle{ 8}\).

Czego tak dokładnie nie rozumiesz?

juz rozumie, dzieki..