Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru m, pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) równania \(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}-6x+m=0}\)
spełniają zależność:

\(\displaystyle{ x_{2}=x_{1}q}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}q^{2}}\)
Wyznacz te pierwiastki.

Z wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -m \\ x_{1}+x_{2} + x_{3} = 3 \\x_{1}x_{2} +x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -6 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}^{3} \cdot q^{3} = -m \\ x_{1}+q x_{1} + q^{2} x_{1} = 3 \Rightarrow x_{1} (1+q+q^{2}) = 3 \\x_{1}^{2} q +x_{1}^{2}q^{2} + x_{1} q^{3} = -6 \Rightarrow x_{1} q(1+q+q^{2}) = -6 \Rightarrow 3q = -6 \Rightarrow q = -2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -8 x_{1}^{3} = -m \\ x_{1}(1 + (-2) +(-2)^{2}) = 3 \Rightarrow 3x_{1} = 3 \Rightarrow x_{1} = 1 \\ q = -2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ m = 8}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = -2 \\ x_{3} = 4 \end{cases}}\)

Dzięki serdeczne za pomoc!
Wiedziałem, że z wzorów, ale nie wiedziałem jak to zapisać,
Doszedłem to do miejsca z układem równań i wyłączonym x1 przed nawias,
ale nie wiedziałem co zrobić dalej