parametr, cztery pierwistki i ich suma kwadratów
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 14 sty 2008, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak gdzie buahaha
- Podziękował: 48 razy
parametr, cztery pierwistki i ich suma kwadratów
Wyznacz m należące do rzeczywistych tak aby rówanie \(\displaystyle{ (2m+2)x^4 - (m+4)x^2 + 1 = 0}\) miało cztery pierwiastki rzeczywiste których suma kwadratów wynosi\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
parametr, cztery pierwistki i ich suma kwadratów
Postawmy \(\displaystyle{ x^{2} = t}\)
Żeby były 4 rozwiązania delta musi być dodatnia a pierwiastki f(t) muszą być dodatnie
\(\displaystyle{ \Delta >0 \Rightarrow m^{2}+8 >0 \Rightarrow m \in R}\)
\(\displaystyle{ t_{1}+t_{2} >0 \Rightarrow (m+4)(m+1) > 0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}t_{2} > 0 \Rightarrow m+1 >0}\)
Czyli poprostu m ma być większe od -1.
Teraz wróćmy do początkowego podstawienia. Wynika z niego, że
\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt{t_{1}} \ \ x_{2} = - \sqrt{t_{1}} \ \ x_{3} = \sqrt{t_{2}} \ \ x_{4} = - \sqrt_{t_{2}}}\)
Wobec czego :
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 2(t_{1}+t_{2}) = 2 \frac{m+4}{2m+2} = \frac{5}{2}}\)
Wychodzi m = 1, mieści się w dziedzinie, więc git
Żeby były 4 rozwiązania delta musi być dodatnia a pierwiastki f(t) muszą być dodatnie
\(\displaystyle{ \Delta >0 \Rightarrow m^{2}+8 >0 \Rightarrow m \in R}\)
\(\displaystyle{ t_{1}+t_{2} >0 \Rightarrow (m+4)(m+1) > 0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}t_{2} > 0 \Rightarrow m+1 >0}\)
Czyli poprostu m ma być większe od -1.
Teraz wróćmy do początkowego podstawienia. Wynika z niego, że
\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt{t_{1}} \ \ x_{2} = - \sqrt{t_{1}} \ \ x_{3} = \sqrt{t_{2}} \ \ x_{4} = - \sqrt_{t_{2}}}\)
Wobec czego :
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 2(t_{1}+t_{2}) = 2 \frac{m+4}{2m+2} = \frac{5}{2}}\)
Wychodzi m = 1, mieści się w dziedzinie, więc git