parametr, cztery pierwistki i ich suma kwadratów

[kolega buahaha]

Wyznacz m należące do rzeczywistych tak aby rówanie \(\displaystyle{ (2m+2)x^4 - (m+4)x^2 + 1 = 0}\) miało cztery pierwiastki rzeczywiste których suma kwadratów wynosi\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)

[Ptaq666]

Postawmy \(\displaystyle{ x^{2} = t}\)

Żeby były 4 rozwiązania delta musi być dodatnia a pierwiastki f(t) muszą być dodatnie

\(\displaystyle{ \Delta >0 \Rightarrow m^{2}+8 >0 \Rightarrow m \in R}\)

\(\displaystyle{ t_{1}+t_{2} >0 \Rightarrow (m+4)(m+1) > 0}\)

\(\displaystyle{ t_{1}t_{2} > 0 \Rightarrow m+1 >0}\)

Czyli poprostu m ma być większe od -1.



Teraz wróćmy do początkowego podstawienia. Wynika z niego, że

\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt{t_{1}} \ \ x_{2} = - \sqrt{t_{1}} \ \ x_{3} = \sqrt{t_{2}} \ \ x_{4} = - \sqrt_{t_{2}}}\)

Wobec czego :

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 2(t_{1}+t_{2}) = 2 \frac{m+4}{2m+2} = \frac{5}{2}}\)


Wychodzi m = 1, mieści się w dziedzinie, więc git