Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
boryssek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślibórz
Podziękował: 3 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: boryssek »

Mam problem z takim zadankiem, chodzi mi abyście w całości rozwiązali te dwa przykłady i opisali troszke, musze mieć je w całości rozwiązane gdyż tak mi się najlepiej uczy na podstawie innych przykładów, a oto treśc zadania:

Dla jakich wartości parametru m iloczyn wielomianów f i g jest równy wielomianowi h?

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} mx - 2, \ g(x) = x + 2m + 1, \ h(x) = x^2 + 4x - 21}\)
b) \(\displaystyle{ f(x) = mx + 1, \ g(x) = x - 2m, \ h(x) = 2x^2 - 3x + 1}\)

Coś robiłem sam jednak dochodze do pewnego momentu i nie wiem co dalej. Weźmy przykład b)

\(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x) = (mx+1)(x-2m) = mx^2 - 2m^2x + x - 2m = ?}\)

Co dalej ??
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:07 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: Skrzypu »

No to zacznijmy od przykładu b)

b) \(\displaystyle{ f(x) = mx + 1, \ g(x) = x - 2m, \ h(x) = 2x^2 - 3x + 1}\)

\(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x) = (mx+1)(x-2m) = mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + x(1-2m^2) -2m}\)

Iloczyn f i g ma być równy h, czyli

\(\displaystyle{ mx^2 + x(1-2m^2) -2m = 2x^2 - 3x + 1}\)

a więc:

\(\displaystyle{ m=2\\
1-2m^2=-3
\\-2m=1
\\ \\
m=2\\
m=2\\
m=- \frac{1}{2}}\)


sprzeczność

Nie istnieje takie m, które spełniałoby warunek

Przykład
a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} mx - 2, g(x) = x + 2m + 1, h(x) = x^2 + 4x - 21}\)

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} mx-2 \right) \left( x+2m+1 \right) = \frac{mx^2}{2} +xm^2+ \frac{mx}{2} -2x-4m-2 = \frac{m}{2} x^2 + x \left( m^2+ \frac{m}{2} -2 \right) - 4m-2}\)

\(\displaystyle{ \frac{m}{2} x^2 + x \left( m^2+ \frac{m}{2} -2 \right) - 4m-2 = x^2 + 4x - 21}\)

\(\displaystyle{ \frac{m}{2} =1\\
m^2+ \frac{m}{2} -2=4
\\-4m-2=-21
\\ \\
m=2
m^2+ \frac{m}{2} =6\\
4m+2=21\\
\\
m=2\\
2m^2+m=12\\
4m=19\\
\\
m=2\\
2m^2+m-12=0\\
m= \frac{19}{4}}\)

sprzeczność

Nie istnieje takie m, które spełnia warunki zadania
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:11 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
boryssek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślibórz
Podziękował: 3 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: boryssek »

THX - wszystko pięknie i OK.
Tylko do końca nie rozumiem tego wyłączania przed nawias.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: Skrzypu »

A w którym miejscu dokładniej nie rozumiesz tego wyłączania przed nawias?
boryssek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślibórz
Podziękował: 3 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: boryssek »

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) = \left( mx+1 \right) \left( x-2m \right) = mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + x \left( 1-2m^2 \right) -2m}\)

ten pogobiony fragment jak sie oblicza, bo tu jest wyłączone x przed nawias
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:12 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: Skrzypu »

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) = \left( mx+1 \right) \left( x-2m \right) = mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + x \left( 1-2m^2 \right) -2m}\)

Tu nie ma żadnej magii, nie zaminiłem kolejności wcześniej i dlatego mogłeś nie zauważyć

\(\displaystyle{ mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + x - 2m^2x - 2m = mx^2 + x \left( 1-2m^2 \right) -2m}\)

Teraz już widzisz?
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:12 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
boryssek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślibórz
Podziękował: 3 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: boryssek »

Domyślam się jednak mam pytanie co sie stało z x.
\(\displaystyle{ mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + \color{red}x\color{black} - 2m^2\color{blue}x\color{black} - 2m = mx^2 + x \left( 1-2m^2 \right) -2m}\)

Co się stało z niebieskim x a co z czerwonym?
Chcę mieć jasnośc do końca
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:15 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: Skrzypu »

\(\displaystyle{ mx^2 - 2m^2x + x - 2m = mx^2 + x - 2m^2x - 2m = mx^2 + x(1-2m^2) -2m}\)

Ano to się stało, że wyłączyłem przed nawias popatrzmy tylko na tą część równania

\(\displaystyle{ x - 2m^2x = x(1-2m^2)}\)

x wyłączasz przed nawias i masz:

\(\displaystyle{ \color{red}x\color{black} - 2m^2\color{green}x\color{black} = \color{blue}x\color{black}\left( \frac{\color{red}x\color{black}}{\color{blue}x\color{black}} - 2m^2 \frac{\color{green}x\color{black}}{\color{blue}x\color{black}} \right)}\)

Myślę, że teraz stało się to jaśniejsze?
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:19 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
boryssek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślibórz
Podziękował: 3 razy

Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: boryssek »

Powiedzmy że jasne zobaczymy jak to będzie w praktyce
THX Skrzypu

// edit //
Na lekcji te przykłady zostały nieco inaczej rozwiązane ale wkońcu załapałem o co chodzi, a mianowicie tak(to juz jest po wymnozeniu):

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) = \frac{mx^2}{2} + mx^2 +m^2x + \frac{mx}{2} - 2x - 4m - 2 = \\
= \frac{mx^2}{2} + \left( m^2 \frac{m}{2} - 2 \right) x - 4m - 2
\\ \\
\frac{m}{2} = 1 \\
m^2 + \frac{m}{2} - 2 = 3
\\-4m - 2 = -10
\\
m= 2

\text{dla} \ m=2 f(x) \cdot g(x) = h(x)}\)


nastepny przykład rowniez po wymnożeniu:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) = \left( mx + 1 \right) \left( x - 2m \right) = mx^2 - 2m^x + x-2m = \\
= mx^2 + \left( -2m^2 +1 \right) x -2m\\
\\
h \left( x \right) = 2x^2 - 3x + 1\\
\\
m=2
\\-2m^2 + 1 \ \text{nie}= 3
-2m = 1}\)


[sprzecznosc]

Najważniejsze że to zrozumiałem a wyszło na innych przykładach ))
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 00:22 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
MrPiTA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 maja 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

Re: Dla jakich m iloczyn wielomianów jest równy wielomianowi

Post autor: MrPiTA »

Szkrzypu w rozwiązaniu w przykładzie a) w 8 linijce zapomniałeś enter'a ;D
ODPOWIEDZ