dzielenie wielomianu z resztą

[kuguarrr]

Wykonane zostało dzielenie wielomianu W(x) przez pewien trójmian kwadratowy. Zgodnie z wykonanym dzieleniem W(x) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2} -x-2)(x ^{2} +x+1) +R(x)}\),gdzie R(x) jest resztą z dzielenia. Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez każdy z dwumianów liniowych x+1 i x-2 są równe. Wyznacz wielomian R(x), wiedząc, że dla zmiennej x=1 wielomian W(x) przyjmuje wartość równą -2.

[anna_]

\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2} -x-2)(x ^{2} +x+1)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ ax+b=R(x)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=(1 ^{2} -1-1)(1 ^{2} +1+1)+a+b=-2 3+a+b=-6+a+b}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=[{-1) ^{2} +1-2][(-1) ^{2} -1+1]+a+b=(1+1-2)(1-1+1)-a+b=b-a}\)
\(\displaystyle{ W(2)=(2 ^{2} -2-2)(2 ^{2}+2+1) +2a+b=(4-2-2)(4+2+1)+2a+b=2a+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=-2 \\ b-a=2a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6+a+b =-2\\ b-a=2a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b =4\\ a=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ R(x)=ax+b=0 x+4=4}\)