pierwastki wielomianu w zależności od parametru

dziczka · Post autor: **dziczka** » 6 gru 2008, o 21:48

Określ liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ px^3+(9p-3)x^2+(2-p)x=0}\) w zależności od wartości parametru p. Naszkicuj wykres funkcji, która każdej wartości parametru p przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 6 gru 2008, o 22:05

\(\displaystyle{ px^{3}+(9p-3)x^{2}+(2-p)x=x(px^{2}+(9p-3)x+(2-p))}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 85p^{2}-62p+9=(p-\frac{9}{17})(p-\frac{1}{5})}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\) dla \(\displaystyle{ p\in(-\infty,\frac{1}{5})\cup(\frac{9}{17},+\infty)}\)
\(\displaystyle{ \Delta < 0}\) dla \(\displaystyle{ p\in(\frac{1}{5},\frac{9}{17})}\)
Wzór szukanej funkcji ma zatem postać \(\displaystyle{ f(p)= \begin{cases} 2:p\in\{\frac{1}{5},\frac{9}{17}\} \\ 1: p\in(\frac{1}{5},\frac{9}{17}) \\ 3: p\in(-\infty,\frac{1}{5})\cup(\frac{9}{17},+\infty) \end{cases}}\)

dziczka · Post autor: **dziczka** » 10 gru 2008, o 11:51

a możesz mi wytłumaczyć jakim sposobem zapisałeś liczbę rozwiązań f(p)? bo nie do końca rozumiem

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 10 gru 2008, o 14:25

To nie powinno byc na odwrót? Że ma 1 pierwiastek dla zbioru dwueelementowego a 2 pierwiastki zapisane w przedziale?

Crizz mozesz wyjaśnic dlaczego tak jest ?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 10 gru 2008, o 16:29

Przecież to równanie ma zawsze pierwiastek \(\displaystyle{ x=0}\). W przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{5},\frac{9}{17}\right)}\) delta wychodzi ujemna, więc więcej pierwiastków nie ma. Gdy delta sie zeruje, to jest dodatkowy pierwiastek, a gdy delta jest wieksza od zera - dodatkowe dwa.