wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

[dziczka]

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0}\).

[Crizz]

Skorzystamy z twierdzenia: jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu.

Na mocy tego twierdzenia możemy stwierdzić, że rozważany pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ W'(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 3x^{2}+a=0}\), skąd \(\displaystyle{ x=\sqrt{-\frac{a}{3}}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ W(x_{0})=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ (\sqrt{-\frac{a}{3}})^{3}+a(\sqrt{-\frac{a}{3}})+b=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}=-b}\)
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy żądaną równość, c.k.d.

[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 22:33 ]
Dowód użytego twierdzenia:
Skoro liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu Q, to Q jest postaci \(\displaystyle{ Q(x)=(x-a)^{2} R(x)}\) gdzie R jest pewnym wielomianem. Stąd:
\(\displaystyle{ Q'(x)=(x-a)^{2} R'(x) + ((x-a)^{2})' R(x)}\)
\(\displaystyle{ Q'(x)=(x-a)^{2} R'(x) + 2(x-a) R(x)}\)
\(\displaystyle{ Q'(a)=0}\), c.k.d.

[dziczka]

wszystko fajnie tylko po podniesieniu do kwadratu nie otrzymujemy tej samej równości co w treści zadania

[Qń]

wszystko fajnie tylko po podniesieniu do kwadratu nie otrzymujemy tej samej równości co w treści zadania

Ależ owszem, otrzymamy, z tym, że wcześniej powinno być \(\displaystyle{ x= \sqrt{-\frac{a}{3}}}\), więc ta równość powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \pm \frac{2}{3} a \sqrt{-\frac{a}{3}}= -b}\)
Ale po podniesieniu do kwadratu oczywiście ów znak przestaje być istotny.

Q.

[Crizz]

Fakt, nie wiem czemu wydawało mi się, że to jest równanie 3. stopnia . Dzięki, Qń.

[dziczka]

rzeczywiście Dzięki