wyznacz współczynniki...

[budinho]

Wyznacz współczynniki rzeczywiste a,b,c wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{4} +bx ^{3} +c}\) wiedząc, że iloczyn reszt z dzielenia tego wielomianu przez dwumiany \(\displaystyle{ x ^{2} +1}\) i \(\displaystyle{ x ^{3} +1}\) jest równy \(\displaystyle{ 2(x-1)(x-5)}\)

Proszę o pomoc w tym zadanku.

[anna_]

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
\ (ax^4 + bx^3 + c) : (x^2+1) = ax^2 + bx -a \\
\underline{-ax^4 - ax} \\
\qquad \ \ \ \ bx^3 - ax^2 \\
\qquad \ \ \underline{-bx^3 - bx} \\
\qquad \qquad \ \ \ -ax^2 - bx \\
\qquad \qquad \ \ \ \ \ \underline {ax^2 + a} \\
\qquad \qquad \qquad \ \ \ \ - bx + a + c
\end{array}}\)



\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
\ (ax^4 + bx^3 + c) : (x^3+1) = ax + b \\
\underline{-ax^4 - ax} \\
\qquad \ \ \ \ bx^3 - ax \\
\qquad \ \ \underline{-bx^3 - b} \\
\qquad \qquad \ \ \ -ax - b + c \\
\end{array}}\)


\(\displaystyle{ (- bx + a + c )(-ax - b + c)=2(x-1)x-5)}\)
\(\displaystyle{ (-b)(x+ \frac{-a-c}{b} )(-a)(x+ \frac{b-c}{a} )=2(x-1)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ (ab)(x+ \frac{-a-c}{b} )(x+ \frac{b-c}{a} )=2(x-1)(x-5)}\)

\(\displaystyle{ Czyli:}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}{ab=2} \\ \frac{-a-c}{b}=-1 \\ \frac{b-c}{a}=-5 \end{cases} \ \ \ \ lub \ \ \ \ \begin{cases}{ab=2} \\ \frac{-a-c}{b}=-5 \\ \frac{b-c}{a}=-1 \end{cases} \ \ \ a, b 0}\)

\(\displaystyle{ Po \ rozwiazaniu \ otrzymujemy:}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ c=3\end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub \ \ \ \ \begin{cases} a=-2 \\ b=-1 \\c=-3 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4} +x ^{3} +3 \ \ \ lub \ \ \ W(x)=-2x ^{4} -x ^{3} -3}\)

[budinho]

Wielkie dzięki. Zaczynałem robić podobnie ale wyniki z dzielenia przez \(\displaystyle{ x ^{3} + 1}\) mi nie wychodziły. Jeszcze raz dzięki