Matematyka.pl

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ b}\) zbiorem rozwiązań nierównosci \(\displaystyle{ (x+b)(x^{2}+x-1)>0}\) jest przedział \(\displaystyle{ ( \frac{ \sqrt{5}-1 }{2};+ )}\).?

narysuj sobie takie prozaiczny wykres wielomianu który spełnia tą funkcje. jak wiadomo musi mieć ona 3 miejsca zerowe bo tą funkcje kwadratową można rozłożyć na czynniki liniowe. zw zbioru wartości widać że ten wielomian musi być większy od zera od jednego z miejsc zerowych \(\displaystyle{ x^{2}+x-1=0}\)
jego rozwiązania to \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-1- \sqrt{5} }{2} x_{2}=\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}}\)
jeżeli wielomian musi mieć 3 rozwiązania i nie może wychodzić nad oś OX nigdzie indziej niż \(\displaystyle{ x_{2}}\) to oznacza że to drugie miejsce zerowe musi być podwójne. a z tego wynika że \(\displaystyle{ b= \frac{-1- \sqrt{5} }{2}}\)

w odpowiedziach mam ze \(\displaystyle{ b= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

no i jest dobrze bo w punkcie \(\displaystyle{ b= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\), który jest dwukrotnym pierwisatkiem wykres funkcji\(\displaystyle{ (x- \frac{(1+ \sqrt{5} )}{2} )(x^{2}+x-1)}\)odbija sie od osi i wraca na wartości ujemne