Znajdź wszystkie wielomiany W spełniające dla kazdego x,y € R następujące warunki
W(0)=2
W(x+y)=W(x)+W(y)+2xy-2
znjdź wielomiany spełniające odp warunki
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
znjdź wielomiany spełniające odp warunki
Niech \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-2}\)
Wtedy podane warunki przyjmują postać:
\(\displaystyle{ V(x+y)=V(x)+V(y)+2xy}\)
\(\displaystyle{ V(0)=0}\)
Udowadniasz indukcyjnie, że dla liczb naturalnych zachodzi \(\displaystyle{ V(n)=n^{2}-n+n V(1)}\) (to można zauważyć, korzystając z danego warunku rozpisując kilka początkowych liczb naturalnych, np. \(\displaystyle{ V(2)=V(1)+V(1)+2}\) itd. )
Niech \(\displaystyle{ V(1)-1=a}\). Skoro dla wszystkich liczb naturalnych wielomiany \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+ax}\) przyjmują te same wartości, to w szczególności przyjmują te same wartości w 3 punktach, czyli są równe, bo drugi wielomian jest stopnia drugiego.
Wykazaliśmy, że jeśli wielomian W spełnia podane warunki, to jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+ax+2,a in \Re}\). Odwrotnie, łatwo (rachunkowo) pokazać, że wielomiany tej postaci spełniają założenia. To oznacza, że zadanie spełniają wszystkie wielomiany postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+ax+2}\)
Wtedy podane warunki przyjmują postać:
\(\displaystyle{ V(x+y)=V(x)+V(y)+2xy}\)
\(\displaystyle{ V(0)=0}\)
Udowadniasz indukcyjnie, że dla liczb naturalnych zachodzi \(\displaystyle{ V(n)=n^{2}-n+n V(1)}\) (to można zauważyć, korzystając z danego warunku rozpisując kilka początkowych liczb naturalnych, np. \(\displaystyle{ V(2)=V(1)+V(1)+2}\) itd. )
Niech \(\displaystyle{ V(1)-1=a}\). Skoro dla wszystkich liczb naturalnych wielomiany \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+ax}\) przyjmują te same wartości, to w szczególności przyjmują te same wartości w 3 punktach, czyli są równe, bo drugi wielomian jest stopnia drugiego.
Wykazaliśmy, że jeśli wielomian W spełnia podane warunki, to jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+ax+2,a in \Re}\). Odwrotnie, łatwo (rachunkowo) pokazać, że wielomiany tej postaci spełniają założenia. To oznacza, że zadanie spełniają wszystkie wielomiany postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+ax+2}\)