Równanie prostej przechodzącej przez punkty

[koper21]

Witam

Proszę o rozwiązanie najtrudniejszego przykładu z zadania ,,Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty:'

\(\displaystyle{ -3x+5Y-1=0}\)

d). \(\displaystyle{ A= (2\sqrt{2} , -2\sqrt{2}), B= (1, 1+ \sqrt{2})}\)

z góry dziękuje

[Natasha]

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}a + b\\1+\sqrt{2} = a + b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}a}\)
\(\displaystyle{ 1+ 2 \sqrt{2} = a -2 \sqrt{2} -2 \sqrt{2}a}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{2}+ 2\sqrt{2} = a - 2\sqrt{2}a}\)
\(\displaystyle{ 2+ 3\sqrt{2} = a (1-2\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2+ 3\sqrt{2}}{1-2 \sqrt{2} } = - \sqrt{2} - 2}\)
\(\displaystyle{ b= -2 \sqrt{2} -2 \sqrt{2}(- \sqrt{2}-2)= 2 \sqrt{2} + 4}\)

\(\displaystyle{ y= (- \sqrt{2} - 2)x + 2 \sqrt{2} + 4}\)

O to chodziło?

[koper21]

Chyba nie, bo z tyłu książki rozwiązanie jest:

\(\displaystyle{ y= \frac{13+5 \sqrt{2} }{7} x + \frac{20+12 \sqrt{2} }{7}}\)

[Moraxus]

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2 \sqrt{2}=a2 \sqrt{2}+b \\ 1+ \sqrt{2}=a+b \end{cases}}\)

Podstawiamy a z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ -2 \sqrt{2}=(1+ \sqrt{2}-b)2 \sqrt{2}+b}\)

Po przemnożeniu:
\(\displaystyle{ -2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}+4-b 2 \sqrt{2}+b}\)

Przerzucamy co trzeba na lewo i wyciągamy b przed nawias:
\(\displaystyle{ -4 \sqrt{2}-4=b(-2 \sqrt{2} +1)}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{-4 \sqrt{2}-4}{-2 \sqrt{2}+1 }}\)

Usuwamy niewymierność z mianownika::
\(\displaystyle{ \frac{-4 \sqrt{2}-4}{-2 \sqrt{2}+1 } \frac{-2 \sqrt{2}-1}{-2 \sqrt{2}-1}}\)

Zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{20+12 \sqrt{2} }{7}}\) - nasze b zgodne z odpowiedziami.

Czyli zgadza się z odpowiedziami.
Teraz mając b łatwo można wyliczyć a:
\(\displaystyle{ a=1+ \sqrt{2}- \frac{20+12 \sqrt{2} }{7}=- \frac{13+5 \sqrt{2}}{7 }}\)