Wyznacz te wyrazy rozwinięcia dwumianu
\(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{5} + \sqrt{2} )^{5}}\),
które są liczbami naturalnymi.
Wyznacz te wyrazy rozwinięcia dwumianu
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznacz te wyrazy rozwinięcia dwumianu
Ze wzoru na dwumian Newtona wynika, że musisz zadać sobie pytanie dla jakich k liczba \(\displaystyle{ {5 \choose k} (\sqrt{5})^{5-k}(\sqrt{2})^{k}}\) jest naturalna. \(\displaystyle{ {5 \choose k}}\) jest zawsze naturalne, wystarczy sprawdzić, kiedy \(\displaystyle{ (\sqrt{5})^{n-k}\sqrt{2}^{k}}\) nie jest niewymierne. Odpowiedź: wtedy, gdy zarówno n-k, jak i k są parzyste (wtedy pierwiastki podnosisz do jakiejś potęgi parzystej \(\displaystyle{ 2l}\), gdzie l jest naturalne, więc ta dwójka znosi pierwiastek i zostaje \(\displaystyle{ 2^{l}}\) albo \(\displaystyle{ 5^{l}}\))