Wyznacz te wyrazy rozwinięcia dwumianu

[Asja90]

Wyznacz te wyrazy rozwinięcia dwumianu
\(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{5} + \sqrt{2} )^{5}}\),
które są liczbami naturalnymi.

[Crizz]

Ze wzoru na dwumian Newtona wynika, że musisz zadać sobie pytanie dla jakich k liczba \(\displaystyle{ {5 \choose k} (\sqrt{5})^{5-k}(\sqrt{2})^{k}}\) jest naturalna. \(\displaystyle{ {5 \choose k}}\) jest zawsze naturalne, wystarczy sprawdzić, kiedy \(\displaystyle{ (\sqrt{5})^{n-k}\sqrt{2}^{k}}\) nie jest niewymierne. Odpowiedź: wtedy, gdy zarówno n-k, jak i k są parzyste (wtedy pierwiastki podnosisz do jakiejś potęgi parzystej \(\displaystyle{ 2l}\), gdzie l jest naturalne, więc ta dwójka znosi pierwiastek i zostaje \(\displaystyle{ 2^{l}}\) albo \(\displaystyle{ 5^{l}}\))