wielomian - ilość rozwiązań

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

wielomian - ilość rozwiązań

Post autor: szymek12 »

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{3}-bx ^{2}-cx+d}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\),\(\displaystyle{ c}\),\(\displaystyle{ d}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ile pierwiastków ma ten wielomian, jeżeli \(\displaystyle{ a \cdot r>0}\)?
Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

wielomian - ilość rozwiązań

Post autor: sea_of_tears »

\(\displaystyle{ W(x)=ax^3-bx^2-cx+d \newline
b=a+r\newline
c=a+2r\newline
d=a+3r\newline
\newline
W(x)=ax^3-(a+r)x^2-(a+2r)x+(a+3r)\newline
W(1)=0\newline
W(x)=ax^3-ax^2-rx^2-ax-2rx+a+3r=\newline
=ax^3-ax^2-rx^2+rx+(-a-3r)x+(a+3r)=\newline
=ax^2(x-1)-rx(x-1)+(-a-3r)(x-1)=\newline
=(x-1)(ax^2-rx-a-3r)\newline
\Delta=(-r)^2-4a(-a-3r)=r^2 + 4a^2 + 12ar>0}\)

zatem trzy pierwiastki
ODPOWIEDZ