Wykazać, że jeśli W jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, \(\displaystyle{ 9|W(223)}\) i \(\displaystyle{ 223|W(9)}\), to \(\displaystyle{ 2007|W(232)}\)
[ Dodano: 26 Listopada 2008, 19:51 ]
ma ktoś jakiś pomysł?
Wykaż podzielność
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wykaż podzielność
Skorzystamy z tego, że dla dowolnych: liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b}\), liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 1}\) i wielomianu \(\displaystyle{ f}\) o współczynnikach całkowitych, jeśli:
\(\displaystyle{ a\equiv b od{n}}\)
to również \(\displaystyle{ f(a)\equiv f(b)\pmod{n}}\)
(wynika to natychmiast z tego, że kongruencje można mnożyć stronami przez liczby całkowite i (przy ustalonym module) dodawać stronami; formalny dowód można przeprowadzić indukcyjnie względem stopnia \(\displaystyle{ f}\)).
Ponieważ:
\(\displaystyle{ 232\equiv 223 od{9}}\)
to:
\(\displaystyle{ W(232)\equiv W(223) \equiv 0 od{9}}\)
podobnie mamy \(\displaystyle{ 232 \equiv 9 od{223}}\), więc:
\(\displaystyle{ W(232)\equiv W(9)\equiv 0\pmod{223}}\)
co razem z poprzednią kongruencją daje \(\displaystyle{ NWW(9, 223)| W(232)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 9}\) i \(\displaystyle{ 223}\) są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ NWW(9, 223) = 9\cdot 223 = 2007}\).
\(\displaystyle{ a\equiv b od{n}}\)
to również \(\displaystyle{ f(a)\equiv f(b)\pmod{n}}\)
(wynika to natychmiast z tego, że kongruencje można mnożyć stronami przez liczby całkowite i (przy ustalonym module) dodawać stronami; formalny dowód można przeprowadzić indukcyjnie względem stopnia \(\displaystyle{ f}\)).
Ponieważ:
\(\displaystyle{ 232\equiv 223 od{9}}\)
to:
\(\displaystyle{ W(232)\equiv W(223) \equiv 0 od{9}}\)
podobnie mamy \(\displaystyle{ 232 \equiv 9 od{223}}\), więc:
\(\displaystyle{ W(232)\equiv W(9)\equiv 0\pmod{223}}\)
co razem z poprzednią kongruencją daje \(\displaystyle{ NWW(9, 223)| W(232)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 9}\) i \(\displaystyle{ 223}\) są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ NWW(9, 223) = 9\cdot 223 = 2007}\).