Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba:
a)\(\displaystyle{ n ^{2} -n}\) jest podzielna przez 2
b)\(\displaystyle{ 2n ^{3}-3n ^{2}+n}\) jest podzielna przez 6
c)\(\displaystyle{ n ^{4} +3n ^{3} -n ^{2} -3n}\)jest podzielna przez 6
Może mi ktoś wytłumaczyć o co w tym chodzi?
Udowodnij, że liczba n
-
Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Udowodnij, że liczba n
\(\displaystyle{ n^{2}-n=n(n-1)}\)
n-1,n - dwie kolejne liczby całkowite, z czego jedna parzysta, czyli podzielna prez 2
n-1,n - dwie kolejne liczby całkowite, z czego jedna parzysta, czyli podzielna prez 2
-
Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Udowodnij, że liczba n
Ale czego nie rozumiesz.
Masz dwie kolejne liczby (parzysta występuje na przemian z nieparzystą), więc jedna z nich jest parzysta, a liczba parzysta jest podzielna przez 2.
[ Dodano: 23 Listopada 2008, 17:19 ]
\(\displaystyle{ n=1 \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =0}\)
\(\displaystyle{ n=2 \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =6}\)
\(\displaystyle{ Zalozenie \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =6k}\)
\(\displaystyle{ Teza\ \ \ 2(n+1) ^{3}-3(n+1) ^{2}+n+1 =6l}\)
\(\displaystyle{ Dowod}\)
\(\displaystyle{ 2(n+1) ^{3}-3(n+1) ^{2}+n+1=2(n^{3}+3n^{2}+3n+1)-3(n^{2}+2n+1)+n+1=2n^{3}+6n^{2}+6n+2-3n^{2}-6n-3+n+1=2n^{3}+3n^{2}+n=2n^{3}-3n^{2}+n+6n^{2}=6k+6n^{2}=6(k+n^{2})=6l}\)
[ Dodano: 23 Listopada 2008, 17:24 ]
\(\displaystyle{ n ^{4} +3n ^{3} -n ^{2} -3=n(n^{3}+3n^{2}-n-3)=n[n^{2}(n+3)-(n+3)]=n(n+3)(n^{2}-1)=n(n+3)(n-1)(n+1)}\)
n-1, n, n+1 -są to trzy kolejne liczby całkowe, z których dokładnie jedna jedna jest podzielna przez 3 oraz jest co najmniej jedna parzysta(czyli podzielna przez 2). Jeżeli liczba podzielna zarówno przez 3 jak i 2, to jest też podzielna przez 6.
Masz dwie kolejne liczby (parzysta występuje na przemian z nieparzystą), więc jedna z nich jest parzysta, a liczba parzysta jest podzielna przez 2.
[ Dodano: 23 Listopada 2008, 17:19 ]
\(\displaystyle{ n=1 \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =0}\)
\(\displaystyle{ n=2 \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =6}\)
\(\displaystyle{ Zalozenie \ \ \ 2n ^{3}-3n ^{2}+n =6k}\)
\(\displaystyle{ Teza\ \ \ 2(n+1) ^{3}-3(n+1) ^{2}+n+1 =6l}\)
\(\displaystyle{ Dowod}\)
\(\displaystyle{ 2(n+1) ^{3}-3(n+1) ^{2}+n+1=2(n^{3}+3n^{2}+3n+1)-3(n^{2}+2n+1)+n+1=2n^{3}+6n^{2}+6n+2-3n^{2}-6n-3+n+1=2n^{3}+3n^{2}+n=2n^{3}-3n^{2}+n+6n^{2}=6k+6n^{2}=6(k+n^{2})=6l}\)
[ Dodano: 23 Listopada 2008, 17:24 ]
\(\displaystyle{ n ^{4} +3n ^{3} -n ^{2} -3=n(n^{3}+3n^{2}-n-3)=n[n^{2}(n+3)-(n+3)]=n(n+3)(n^{2}-1)=n(n+3)(n-1)(n+1)}\)
n-1, n, n+1 -są to trzy kolejne liczby całkowe, z których dokładnie jedna jedna jest podzielna przez 3 oraz jest co najmniej jedna parzysta(czyli podzielna przez 2). Jeżeli liczba podzielna zarówno przez 3 jak i 2, to jest też podzielna przez 6.