znajdź a, b, c

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Delete
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2008, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: sdfg
Podziękował: 10 razy

znajdź a, b, c

Post autor: Delete »

Wyznacz takie wartości a, b, c dla których wielomian P(x) jest podzielny przez wielomian Q(x), gdy:
\(\displaystyle{ P(x)=x ^{4} +8x ^{3}+ax ^{2} +bx+c

Q(x)=x ^{3}+5x ^{2}+6x+2}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

znajdź a, b, c

Post autor: mmoonniiaa »

\(\displaystyle{ Q(x)=(x+1)(x^2+4x+2)=(x+1)(x+2+ \sqrt{2} )(x+2- \sqrt{2} ) \\
Q|P \begin{cases} P(-1)=0 \\ P(-2- \sqrt{2} )=0 \\ P(-2+ \sqrt{2}) \end{cases} ...}\)
Delete
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2008, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: sdfg
Podziękował: 10 razy

znajdź a, b, c

Post autor: Delete »

Jak doprowadziłaś Q(x) do takiego stanu?

coś jak to licze to mi to nie chce wychodzić :/
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

znajdź a, b, c

Post autor: mmoonniiaa »

Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) mogą być dzielniki wyrazu wolnego: 2. Czyli dzielniki 2 to -2, -1, 1, 2. Sprawdzam:
\(\displaystyle{ Q(1)=1+5+6+2 0 \\
Q(-1)=-1+5-6+2=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ x=-1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ Q}\).

Zgodnie z twierdzeniem Bezout, jeśli \(\displaystyle{ x=-1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ Q}\), to wielomian \(\displaystyle{ Q}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\). Po podzieleniu otrzymuję, że: \(\displaystyle{ Q(x)=(x+1)(x^2+4x+2)}\). Następnie wyliczam \(\displaystyle{ \Delta}\) itd.
macciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 15 mar 2007, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 10 razy

znajdź a, b, c

Post autor: macciej91 »

Takie zadania najbardziej lubie robić przez mnożenie.

Wygląda to tak:
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x)*W(x)}\)
P i Q jest podane więc musisz stworzyć jakoś W(x).

Patrzysz na stopnie P i Q. W tym przypadku są różne o 1, więc wielomian W będzie stopnia 1. Możesz sobie zapisać \(\displaystyle{ W(x)=ax+g}\). Liczba będzie równa \(\displaystyle{ a=\frac{a_{P(x)}}{a_{Q(x)}=1}\). g jest niewiadomą, którą zaraz będziemy szukać.

Podstawowym twierdzeniem w rachunku wielomianów jest to, że dwa wielomiany są równe, gdy mają takie same współczynniki przy odpowiadających jednomianach.

Aby wyznaczyć takie same współczynniki wymnażamy po prostu P(x)*W(x) i porównujemy odpowiednie współczynniki.
ODPOWIEDZ