pierwiastek wielomianu

[mateusz.ex]

Liczby \(\displaystyle{ 2}\)i \(\displaystyle{ -3}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}-11x+30}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

[ppolciaa17]

wystarczy obliczyć \(\displaystyle{ W(2).. i W(-3)..}\) obydwa wyniki przyrównać do 0 bo są to pierwiastki wiec reszta wynosi 0 nom i obliczyć układ równań.. o ile gdzieś się nie pomyliłam wyszło a=1 i b=-4

[TDK]

Najpierw wyznaczmy wzór wielomianu.
Wiedząc, że \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -3}\) to miejsca zerowe to \(\displaystyle{ W(2) = 0}\) i \(\displaystyle{ W(-3) = 0}\).
\(\displaystyle{ W(2) = 8a + 4b + 8 = 0}\) a \(\displaystyle{ W(-3) = -27a + 9b + 63 = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8a + 4b + 8 = 0\\ -27a + 9b + 63 = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1 \\ b = - 4 \end{cases}}\)
I oto nasz wielomian, wygląda następująco:
\(\displaystyle{ x^{3} - 4x ^{2} - 11x + 30}\)
Wiem, że dzieli się przez 2, dzieląc przez 2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2} - 2x - 15}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = 5 x_{2} = -3}\) Trzecie, szukane miejsce zerowe to 5.
Wielomian w postaci iloczynowej wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - 5)(x + 3)(x - 2)}\)