pierwiastek wielomianu, krotność

[mateusz.ex]

Liczby \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -2}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^5-15x^{3}-10x^{2}+60x+72}\).Określ krotność tych pierwiastków.

[Arst]

\(\displaystyle{ W(x)=x^5-15x^3-10x^2+60x+72}\)

sprawdzasz czy \(\displaystyle{ W'(3)=0}\), \(\displaystyle{ W''(3)=0}\), \(\displaystyle{ W'''(3)=0}\) itd. analogicznie dla \(\displaystyle{ -2}\). Jeżeli pierwsza pochodna sie wyzeruje to masz pierwiastek podwójny, druga- potrójny, trzecia 4-krotny, itd.

Pozdrawiam

[kuch2r]

\(\displaystyle{ W(x)=x^5-15x^3-10x^2+60x+72}\)

sprawdzasz czy \(\displaystyle{ W'(3)=0}\), \(\displaystyle{ W''(3)=0}\), \(\displaystyle{ W'''(3)=0}\) itd. analogicznie dla \(\displaystyle{ -2}\). Jeżeli pierwsza pochodna sie wyzeruje to masz pierwiastek podwójny, druga- potrójny, trzecia 4-krotny, itd.

Pozdrawiam

wszystko ok, ale brakuje jednego założenia.
Mówimy, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ k}\)-krotnym wielomanu \(\displaystyle{ W(x)}\), wtw gdy \(\displaystyle{ W(a)=0,W'(a)=0, W''(a)=0, \ldots, W^{(k-1)}(a)=0\quad \quad W^{(k)}(a)\neq 0}\)

[Arst]

Faktycznie, dzięki za zwrócenie uwagi

[mateusz.ex]

czyli co mam teraz zrobić, podstawić za x (-2) i 3 a nastepnie wyliczyc? jak podstawiłem 3 to x=0 a w przypadku -2 to nie wychodzi.

[Arst]

\(\displaystyle{ W'(x)=5x^4-45x^2-20x+60}\)
\(\displaystyle{ W''(x)=20x^3-90x-20}\)

\(\displaystyle{ W'(3)=5*81-405-60+60=405-405-60+60=0}\), więc 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym.
\(\displaystyle{ W''(-2)=-160+180-20=0}\), więc 2 jest pierwiastkiem 3-krotnym

Twój wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x+2)^3(x-3)^2}\)