dowód wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia

marty · Post autor: **marty** » 18 lis 2008, o 19:05

Na mocy tego, że \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 + px^2 +qx + r = 0}\) udowodnij wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia.

jak to zrobić?

aga92 · Post autor: **aga92** » 18 lis 2008, o 19:37

\(\displaystyle{ (x - x_{1}) (x - x_{2})(x-x_{3} ) = x^{3} + px^{2} + qx + r}\)

Uporządkuj lewą stronę równania i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ x}\).

marty · Post autor: **marty** » 18 lis 2008, o 20:01

mogłabyś jeszcze rozwinąć?
dzięki temu udowodnię 3 wzory Viete'a?

aga92 · Post autor: **aga92** » 18 lis 2008, o 20:08

Tak, po wymnożeniu lewej strony i uporządkowaniu względem potęg x otrzymasz
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) + x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) +( -x_{1}x_{2}x_{3}) = x^{3}+px^{2} + qx + r}\)

Teraz trzeba porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x ( dwa wielomiany są równe, gdy ich współczynniki są takie same):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) = x^{2} p \\ x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) = x q \\ ( -x_{1}x_{2}x_{3}) = r \end{cases}}\)

marty · Post autor: **marty** » 18 lis 2008, o 20:28

dzięki, moje pytanie powyżej było bezsensowne...
zaczęłam z postaci iloczynowej, ale jakoś nie widziałam sensu wyliczania tego...dlatego zamieściłam tu ten post
zrobiłam zanim napisałaś drugi post, ale Twój pierwszy był bardzo pomocny
dzięki wielkie!