Na mocy tego, że \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 + px^2 +qx + r = 0}\) udowodnij wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia.
jak to zrobić?
dowód wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 324
- Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 121 razy
dowód wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ (x - x_{1}) (x - x_{2})(x-x_{3} ) = x^{3} + px^{2} + qx + r}\)
Uporządkuj lewą stronę równania i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ x}\).
Uporządkuj lewą stronę równania i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 324
- Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 121 razy
dowód wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia
Tak, po wymnożeniu lewej strony i uporządkowaniu względem potęg x otrzymasz
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) + x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) +( -x_{1}x_{2}x_{3}) = x^{3}+px^{2} + qx + r}\)
Teraz trzeba porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x ( dwa wielomiany są równe, gdy ich współczynniki są takie same):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) = x^{2} p \\ x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) = x q \\ ( -x_{1}x_{2}x_{3}) = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) + x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) +( -x_{1}x_{2}x_{3}) = x^{3}+px^{2} + qx + r}\)
Teraz trzeba porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x ( dwa wielomiany są równe, gdy ich współczynniki są takie same):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} ( -x_{1} - x_{2} - x_{3}) = x^{2} p \\ x (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1} x_{3}) = x q \\ ( -x_{1}x_{2}x_{3}) = r \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 296
- Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 33 razy
dowód wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia
dzięki, moje pytanie powyżej było bezsensowne...
zaczęłam z postaci iloczynowej, ale jakoś nie widziałam sensu wyliczania tego...dlatego zamieściłam tu ten post
zrobiłam zanim napisałaś drugi post, ale Twój pierwszy był bardzo pomocny
dzięki wielkie!
zaczęłam z postaci iloczynowej, ale jakoś nie widziałam sensu wyliczania tego...dlatego zamieściłam tu ten post
zrobiłam zanim napisałaś drugi post, ale Twój pierwszy był bardzo pomocny
dzięki wielkie!