zadanie na wyznaczenie reszty z dzielenia

[kropaseq]

Wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3x+1)^{2005}}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-4x+3}\)

Nie wiem czy dobrze to rozwiązałem:

\(\displaystyle{ \frac{W(0)}{P(0)}=\frac{1^{2005}}{3}=\frac{1}{3}}\)

Proszę o prawidłowe rozwiązanie tego zadania.
Z góry dziękuję

[piasek101]

Co robiłeś ? Nie wiem.


Co do zadania to :

Ponieważ \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x-3)}\) oraz

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) P(x)+ax+b}\) (gdzie ax+b to szukana reszta).

Z powyższego \(\displaystyle{ W(1)=a+b}\) oraz \(\displaystyle{ W(3)=3a+b}\) (i działać)

[aga92]

\(\displaystyle{ W(x) = P(x) Q(x) + R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest resztą z dzielenia.

Zauważ, że \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być postaci \(\displaystyle{ ax + b}\).

\(\displaystyle{ (x^{2} -3x+1)^{2005} = (x-3)(x-1) * Q(x) + ax + b}\)

Podstawiając pod \(\displaystyle{ x}\) najpierw \(\displaystyle{ 1}\), a później \(\displaystyle{ 3}\) otrzymasz:
(1) \(\displaystyle{ (1^{2} - 3 * 1 + 1)^{2005} = -2 * 0 * Q(1) + a + b -1 = a + b}\)
(2) \(\displaystyle{ (3^{2} - 3*3 + 1)^{2005} = 0*2*Q(2) + 3a + b 1 = 3a + b}\)

Stąd \(\displaystyle{ a = 1, \ b = -2}\), czyli \(\displaystyle{ R(x) = x - 2}\)

[kropaseq]

Dzięki wam za pomoc