Liczba rozwiązań

[matshadow]

Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m:
\(\displaystyle{ (m-3)x^4-3(m-3)x+(m+2)=0}\)
Proszę o wskazówki

[tajnosc]

Wskazówka

Wyciągnij x przed nawias, zostaw ten iloczyn po lewej stronie, a resztę wyrzuć na lewo za znak równości
\(\displaystyle{ (x^4-x)*[(m-3)-3(m-3)]=-m-2}\)

Jeśli nadal nic się nie klaruje, to zobacz, że:

- Wielomian ma jedno rozwiązanie, gdy x nie zniknie nam z równości. (nie zostanie pomnożony przez 0)

- Wielomian ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy doprowadzimy do sytuacji 0=0

- Wielomian nie ma rozwiązań gdy 0=reszta

[JankoS]

Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m:
\(\displaystyle{ (m-3)x^4-3(m-3)x+(m+2)=0}\)
Proszę o wskazówki

Jeżeli m = 3 , to \(\displaystyle{ 0+0 5=0}\) i wielomian nie ma pierwiastków.
Dla \(\displaystyle{ m 3 \quad x^4=3x-\frac{m+2}{m-3}=3x+b.}\)
Prosta \(\displaystyle{ 3x+b}\) jest styczna do \(\displaystyle{ x^4}\) dla \(\displaystyle{ (x^4)'=4x^3=3 x= \sqrt[3]{\frac{3}{4}}.}\)
Po podstawienie tej wartości do równania wyznaczamy m, dla których wielomian ma jeden pierwiastek. Dalej wyznaczamy wartość b.
Dla \(\displaystyle{ -\frac{m+2}{m-3}b}\) - dwa rozwiązania.