Wielomiany -wyznaczanie parametrów.

[Robson117]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Z góry dziękuję.

1. Dany jest uklad rownań \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2x+8y=12a\\(a-1)x+2y=3\end{cases}}\)
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) rozwiązanie \(\displaystyle{ (x;y)}\) tego ukladu spełnia warunek \(\displaystyle{ x+y qslant0}\) i \(\displaystyle{ a C}\)


2. Wyznacz wszytskie wartości parametru m, dla których rownanie \(\displaystyle{ x^2+(3-m^2)|x|+m^2+m-2=0}\) ma dokładnie trzy rozwiązania.
(możliwe, aby równanie drugiego stopnia miało trzy rozwiązania?!) - [przyp. Robsona117]


3. Wyznacz wszytskie wartości parametru m, dla ktorych wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-mx+m-1}\) ma trzy różne pierwiastki.


4. Podaj, dla jakiej wartości parametru p proste \(\displaystyle{ x-y-p^2+1=0}\) oraz \(\displaystyle{ x+y-p^2+2p+3=0}\) przecinają się w punkcie należącym do wnętrzna prostokąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(4;-1)}\), \(\displaystyle{ B(10;-1)}\), \(\displaystyle{ C(10;2)}\), \(\displaystyle{ D(4;2)}\)

Będę zobowiązany za każdą pomoc.

[piasek101]

3.
W(1) = 0 zatem po rozkładzie wielomianu na czynniki, ten kwadratowy ma mieć dwa różne rozwiązania inne niż jedynka.

[matshadow]

oczywiście że równanie kwadratowe nie może mieć trzech rozwiązań

[Robson117]

\(\displaystyle{ Zadanie \ 3.}\)

Idąc za wskazowką \(\displaystyle{ piaska101}\) zauważyłem, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) będzie rozwiązaniem tego równania niezależnie od wartości parametru \(\displaystyle{ m}\). Podziliłem więc wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\) za pomocą schematu Hornera, otrzymałem równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ x^2+(1-m)x+1=0}\)
Aby to równanie miało dwa rozwiązania, \(\displaystyle{ \Delta \geqslant 0}\). Po wyliczeniu nierowności otrzymałem \(\displaystyle{ m \in (-\infty;-1>\cupqslant 0}\) i \(\displaystyle{ x}\)

[bedbet]

3.)

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

2.)

Równanie kwadratowe z modułem może mieć trzy pierwiastki. Zauważ, że po lewej stronie tego równania mamy funkcje \(\displaystyle{ f(|x|)=x^2+(3-m^2)|x|+m^2+m-2}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=x^2+(3-m^2)x+m^2+m-2}\).

1.)

Rozwiązujesz normalnie układ równań liniowych, a następnie korzystasz z waruków zadania.

4.)

Wskazówka:
Punkt przecięcia się tych prostych ma współrzędne \(\displaystyle{ A=(a,b) \ , \ 4}\)

[piasek101]

oczywiście że równanie kwadratowe nie może mieć trzech rozwiązań

Poczytaj treść zadania.

3.)
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

Plus to co pisałem - ,,inne niż jedynka".

[Robson117]

\(\displaystyle{ Zadanie 3}\)

Przemyślałem zadanie zgodnie ze wskazówkami \(\displaystyle{ bedbeta}\) oraz \(\displaystyle{ piaska101}\), ostatecznie więc mamy równanie kwadratowe z dwoma warunkami:
\(\displaystyle{ x^2+(1-m)x+1=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x \neq 1 \end{cases}}\)
Rozwiązując te waunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in (-\infty;-1)\cup(3;\infty) \\ m \neq 3 \end{cases}}\)

a więc rozwiązanie zadania to \(\displaystyle{ m \in (-\infty;-1)\cup(3;\infty)}\)
Załatwione:) Dziękuję za pomoc.



\(\displaystyle{ Zadanie 1}\)

Postępuję zgodnie z zaleceniem \(\displaystyle{ bedbeta.}\)
Otrzymałem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{12-12a}{-a^2+4a-4} \\ y=\frac{(12-a^2)(3-3a)}{2(-a^2+4a-4)} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a \neq 2}\)

więc
\(\displaystyle{ x+y=\frac{(a-1)(a-2 \sqrt{5})(a+ \sqrt{5})}{2(a-2)(-a+2)}}\)

czyli
\(\displaystyle{ 2(a-1)(a-2 \sqrt{5})(a+ 2 \sqrt{5} )(a-2)(-a+2) \geqslant 0}\)

rysuję więc wykres o miejscach zerowych \(\displaystyle{ a=1; a=2 \sqrt{5} ;a=-2 \sqrt{5}}\) i podwójnym miejscu zerowym \(\displaystyle{ a=2}\)

Wykres zaczynam rysować od prawej strony pod osią \(\displaystyle{ a}\), odbijam w miejscu \(\displaystyle{ a=2}\) ponieważ jest to pierwiastek podwójny, uwzględniam, że liczba \(\displaystyle{ 2}\) nie należy do dziedziny.

Po tym wszystkim otrzymuje wynik \(\displaystyle{ a \in (-\infty;-2 \sqrt{5}>\cup\{2}}\)

Niestey wynik tez wydaje się błędny, a nie mogę doszukać się błędu w moim rozwiązaniu! Proszę o pomoc!


Dziękuję \(\displaystyle{ bedbet}\) i \(\displaystyle{ piaskowi101}\) za dotychczasową pomoc.


\(\displaystyle{ Zadanie 2}\)

2.)

Równanie kwadratowe z modułem może mieć trzy pierwiastki. Zauważ, że po lewej stronie tego równania mamy funkcje \(\displaystyle{ f(|x|)=x^2+(3-m^2)|x|+m^2+m-2}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=x^2+(3-m^2)x+m^2+m-2}\).

Niestety niewiele mi się przejaśniło. Mogę prosić o nieco szerszą podpowiedź?